题目
如图所示,真空中一矩形线圈宽和长分别为2a和b,通有电流I2,可绕其中心对称轴OO'转动.与轴平行且相距为d+a处有一固定不动的长直电流I1,开始时矩形线圈与长直电流在同一平面内,求:(1)在图示位置时,I1产生的磁场通过线圈平面的磁通量;(2)线圈与直线电流间的互感系数.(3)保持I1、I2不变,使线圈绕轴OO'转过90°外力要做多少功?
如图所示,真空中一矩形线圈宽和长分别为2a和b,通有电流I2,可绕其中心对称轴OO'转动.与轴平行且相距为d+a处有一固定不动的长直电流I1,开始时矩形线圈与长直电流在同一平面内,求:
(1)在图示位置时,I1产生的磁场通过线圈平面的磁通量;
(2)线圈与直线电流间的互感系数.
(3)保持I1、I2不变,使线圈绕轴OO'转过90°外力要做多少功?
题目解答
答案
解:(1)按题意是指图示位置时的.
(2)
(3)
解析
步骤 1：计算磁通量
在图示位置时，长直电流I1产生的磁场通过线圈平面的磁通量可以通过积分计算。根据安培环路定理，长直电流I1在距离d处的磁场强度为：
\[ B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率。由于线圈的宽度为2a，所以磁场强度在距离d+a到d+2a之间变化。因此，通过线圈平面的磁通量为：
\[ \phi = \int_{d+a}^{d+2a} B \cdot b \cdot dx = \int_{d+a}^{d+2a} \frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} \cdot b \cdot dx \]
步骤 2：计算互感系数
互感系数M定义为通过线圈的磁通量与产生该磁通量的电流的比值。因此，互感系数为：
\[ M = \frac{\phi}{I_1} \]
步骤 3：计算外力做功
当线圈绕轴OO'转过90°时，线圈的磁通量发生变化，从而产生磁力矩。外力做功等于磁通量变化引起的磁能变化。磁能变化为：
\[ A = I_2 \Delta \phi \]
其中，\(\Delta \phi\)是磁通量的变化量。
在图示位置时，长直电流I1产生的磁场通过线圈平面的磁通量可以通过积分计算。根据安培环路定理，长直电流I1在距离d处的磁场强度为：
\[ B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率。由于线圈的宽度为2a，所以磁场强度在距离d+a到d+2a之间变化。因此，通过线圈平面的磁通量为：
\[ \phi = \int_{d+a}^{d+2a} B \cdot b \cdot dx = \int_{d+a}^{d+2a} \frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} \cdot b \cdot dx \]
步骤 2：计算互感系数
互感系数M定义为通过线圈的磁通量与产生该磁通量的电流的比值。因此，互感系数为：
\[ M = \frac{\phi}{I_1} \]
步骤 3：计算外力做功
当线圈绕轴OO'转过90°时，线圈的磁通量发生变化，从而产生磁力矩。外力做功等于磁通量变化引起的磁能变化。磁能变化为：
\[ A = I_2 \Delta \phi \]
其中，\(\Delta \phi\)是磁通量的变化量。