麦克斯韦速率分布律、玻耳兹曼分布律例5:理想气体处于平衡态时,根据麦克斯韦速率分布函数,可导得分子平动动能在到区间的概率为 , 其中。再根据这一分布式,可导得分子平动动能的最可几值 。(第24届全国部分地区大学生物理竞赛)

步骤 1：速率分布函数到动能分布函数的转换
根据麦克斯韦速率分布函数，分子速率在 $v$ 到 $v + dv$ 范围内的概率为
$$
f(v)dv = 4\pi v^2 \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{mv^2}{2kT}} dv
$$
其中 $m$ 是分子质量，$k$ 是玻尔兹曼常数，$T$ 是温度。分子的平动动能 $\varepsilon$ 与速率 $v$ 的关系为
$$
\varepsilon = \frac{1}{2}mv^2
$$
因此，速率 $v$ 与动能 $\varepsilon$ 的关系为
$$
v = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{m}}
$$
速率的微分 $dv$ 与动能的微分 $d\varepsilon$ 的关系为
$$
dv = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{m\varepsilon}} d\varepsilon
$$
步骤 2：动能分布函数的推导
将速率 $v$ 与动能 $\varepsilon$ 的关系代入速率分布函数，得到动能分布函数
$$
f(\varepsilon)d\varepsilon = 4\pi \left(\frac{2\varepsilon}{m}\right) \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{m\varepsilon}} d\varepsilon
$$
化简得到
$$
f(\varepsilon)d\varepsilon = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} \sqrt{\varepsilon} d\varepsilon
$$
步骤 3：最可几动能的求解
最可几动能 $\varepsilon_p$ 是动能分布函数 $f(\varepsilon)$ 的最大值点，即
$$
\frac{d}{d\varepsilon} f(\varepsilon) = 0
$$
对动能分布函数求导，得到
$$
\frac{d}{d\varepsilon} f(\varepsilon) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(\frac{1}{kT}\right)^{\frac{3}{2}} \left( e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} \frac{1}{2\sqrt{\varepsilon}} - e^{-\frac{\varepsilon}{kT}} \frac{\varepsilon}{kT} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right)
$$
令导数为零，得到
$$
\frac{1}{2\sqrt{\varepsilon}} = \frac{\varepsilon}{kT} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}
$$
化简得到
$$
\varepsilon_p = \frac{1}{2} kT
$$