题目
16.波长范围在 450～650 nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1 cm．求透镜的焦距 f． (1 nm=10-9 m)
16.波长范围在 450～650 nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1 cm．求透镜的焦距 f． (1 nm=10-9 m)
题目解答
答案
解：光栅常数 d = 1m / (5×105) = 2 ×105m．2 分设 1 = 450nm， 2 = 650nm,则据光栅方程，1和2的第 2 级谱线有dsin 1 =21； dsin 2=22据上式得： 1 =sin121/d＝26.74° 2 = sin122 /d＝40.54° 3 分第 2 级光谱的宽度 x2 x1 = f (tg 2tg 1)∴ 透镜的焦距 f = (x1 x2) / (tg 2 tg 1) ＝100 cm． 3 分
解析
步骤 1：计算光栅常数
光栅常数 d 是光栅上相邻两条刻线之间的距离。题目中给出每厘米有 5000 条刻线，因此光栅常数 d = 1m / (5×10^5) = 2 ×10^-6 m。
步骤 2：确定光栅方程
光栅方程为 d sin θ = m λ，其中 d 是光栅常数，θ 是衍射角，m 是级次，λ 是光的波长。题目中要求的是第二级光谱，因此 m = 2。
步骤 3：计算衍射角
根据光栅方程，对于波长为 450 nm 和 650 nm 的光，分别计算衍射角 θ1 和 θ2。
对于 450 nm 的光，有 2 ×10^-6 m × sin θ1 = 2 × 450 ×10^-9 m，解得 θ1 = sin^-1(2 × 450 ×10^-9 m / (2 ×10^-6 m)) = 26.74°。
对于 650 nm 的光，有 2 ×10^-6 m × sin θ2 = 2 × 650 ×10^-9 m，解得 θ2 = sin^-1(2 × 650 ×10^-9 m / (2 ×10^-6 m)) = 40.54°。
步骤 4：计算透镜焦距
根据题目，第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1 cm，即 x2 - x1 = 35.1 cm。根据几何关系，x2 - x1 = f (tan θ2 - tan θ1)，其中 f 是透镜的焦距。将 θ1 和 θ2 的值代入，解得 f = (x2 - x1) / (tan θ2 - tan θ1) = 35.1 cm / (tan 40.54° - tan 26.74°) = 100 cm。
光栅常数 d 是光栅上相邻两条刻线之间的距离。题目中给出每厘米有 5000 条刻线，因此光栅常数 d = 1m / (5×10^5) = 2 ×10^-6 m。
步骤 2：确定光栅方程
光栅方程为 d sin θ = m λ，其中 d 是光栅常数，θ 是衍射角，m 是级次，λ 是光的波长。题目中要求的是第二级光谱，因此 m = 2。
步骤 3：计算衍射角
根据光栅方程，对于波长为 450 nm 和 650 nm 的光，分别计算衍射角 θ1 和 θ2。
对于 450 nm 的光，有 2 ×10^-6 m × sin θ1 = 2 × 450 ×10^-9 m，解得 θ1 = sin^-1(2 × 450 ×10^-9 m / (2 ×10^-6 m)) = 26.74°。
对于 650 nm 的光，有 2 ×10^-6 m × sin θ2 = 2 × 650 ×10^-9 m，解得 θ2 = sin^-1(2 × 650 ×10^-9 m / (2 ×10^-6 m)) = 40.54°。
步骤 4：计算透镜焦距
根据题目，第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1 cm，即 x2 - x1 = 35.1 cm。根据几何关系，x2 - x1 = f (tan θ2 - tan θ1)，其中 f 是透镜的焦距。将 θ1 和 θ2 的值代入，解得 f = (x2 - x1) / (tan θ2 - tan θ1) = 35.1 cm / (tan 40.54° - tan 26.74°) = 100 cm。