题目
2-3 1kg氧气置于图 2-12 所示气缸内,缸壁能充分导热,且活塞与缸壁-|||-无摩擦。初始时氧气压力为0.5MPa,温度为27℃。若气缸长度为2l,活塞质-|||-量为10kg,试计算拔除销钉后,活塞可能达到的最大速度。-|||-p=0.5MPa P0=0.1MPa-|||-=(27)^circ C 日 l0=27℃-|||-1 销钉-|||-21-|||-图 2-12 习题 2-3 附图
题目解答
答案
解析
本题主要考察热力学第一定律与动力学的综合应用，关键在于分析气体膨胀过程中的能量转化关系，并结合活塞运动的力学条件求解最大速度。
步骤1：系统分析与热力学过程判断
- 系统：1kg氧气（缸壁导热，环境温度恒定$T_0=300\,\text{K}$）。
- 过程：拔除销钉后，活塞在气体压力和大气压作用下向右运动，直至气体压力等于大气压（$p_2=p_0=0.1\,\text{MPa}$）时达到最大速度速度（后续加速度为零，速度不变）。
- 热力学过程：缸壁导热，气体温度最终与环境平衡，故为等温膨胀过程**（$T=常数）。
步骤2：气体状态参数计算
氧气视为理想气体，状态方程$pV=mRT$：
- 初始状态：$p_1=0.5\,\text{MPa}$，$T_1=300\,\text{}^{\circ}\text{C}$，$V_1=?\quad p_1V_1=mRT_1\Rightarrow V_1=\frac{mRT_1}{p_1}$。
- 终态：$p_2=0.1\,\text{MPa}$，}T_2=T_1=300\,\text{K，}V_2=?\quad p_2V_2=mRT_2\Rightarrow V_2=\frac{mRT_1}{p_2}=5V_1$（因$p_2=\frac{1}{5}p_1$）。
步骤3：热力学能与功量计算
理想气体等温过程热力学能变化$\Delta U=0$，由热力学第一定律$Q=\Delta U+W\Rightarrow Q=W$，其中$W$为气体膨胀功：
$W=\int_{V_1}^{V_2}pdV=mRT_1\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=mRT_1\ln5$
步骤4：机械能守恒与速度计算
气体膨胀功$W分为两部分：
- 推动活塞做功：$W_{\text{推}}=\frac{1}{2}mc_2^2+mg(l-l_0)$（动能+活塞重力势能）。
- 克服大气压做功：$W_{\text{atm}}=}}p_0(V_2-V_1)$（推动外界空气）。
由能量守恒：$W=W_{\text{推}}+}}W_{\text{atm}}$，代入数据：
- $m=1\,\text{kg}$，$R=259.8\,\text{J/(kg·K)}$，$T_1=300\,\text{K}$，$\ln5\approx1.6094$
- $p_0=0.1\times10^6\,\text{Pa}$，$V_1=\frac{mRT_1}{p_1}=0.01559\,\text{m}^3$，$V_2-V_1=0.06236\,\text{m}^3$
- $g=9.81\,\text{m/s}^2/\text{s}$，$l-l_0\approx0.0303\,\text{m}$（活塞位移，由$V=\pi r^2l$推导）
解得：
$c_2=\sqrt{2\left[\frac{mRT_1\ln5-p_1}{m}-p_0(V_2-V_1)-mg(l-l_0)\right]}\approx87.7\,\text{m/s}$