题目
56.均质细杆OA,质量为m、长为l。在如图所示水平位置静止释放,当运动到铅直位置时,OA杆的-|||-角速度的大小为 () 。-|||-y-|||-O A-|||-题56图-|||-B. sqrt (dfrac {3g)(l)}-|||-C. sqrt (dfrac {3g)(2)}-|||-D. sqrt (dfrac {8)(3)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定能量守恒
在细杆OA从水平位置运动到铅直位置的过程中，重力势能转化为动能。根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加。
步骤 2：计算重力势能的减少
细杆OA的重心在杆的中点，当杆从水平位置运动到铅直位置时，重心下降了$\dfrac{l}{2}$。因此，重力势能的减少为$mg\cdot \dfrac{l}{2}$。
步骤 3：计算动能的增加
细杆OA的动能包括转动动能和质心动能。转动动能为$\dfrac{1}{2}I\omega^2$，其中$I$为细杆绕O点的转动惯量，$\omega$为角速度。质心动能为$\dfrac{1}{2}mv_c^2$，其中$v_c$为质心的速度。由于$v_c=\dfrac{l}{2}\omega$，所以质心动能为$\dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2$。细杆绕O点的转动惯量为$\dfrac{1}{12}ml^2$，所以转动动能为$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2$。因此，动能的增加为$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2$。
步骤 4：列出能量守恒方程
根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加，即$mg\cdot \dfrac{l}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2$。
步骤 5：解方程求角速度
化简方程，得到$mg\cdot \dfrac{l}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m\cdot \dfrac{l^2}{4}\omega^2 = \dfrac{1}{2}m\cdot \dfrac{l^2}{6}\omega^2$。化简得到$\omega^2 = \dfrac{3g}{l}$，所以$\omega = \sqrt{\dfrac{3g}{l}}$。
在细杆OA从水平位置运动到铅直位置的过程中，重力势能转化为动能。根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加。
步骤 2：计算重力势能的减少
细杆OA的重心在杆的中点，当杆从水平位置运动到铅直位置时，重心下降了$\dfrac{l}{2}$。因此，重力势能的减少为$mg\cdot \dfrac{l}{2}$。
步骤 3：计算动能的增加
细杆OA的动能包括转动动能和质心动能。转动动能为$\dfrac{1}{2}I\omega^2$，其中$I$为细杆绕O点的转动惯量，$\omega$为角速度。质心动能为$\dfrac{1}{2}mv_c^2$，其中$v_c$为质心的速度。由于$v_c=\dfrac{l}{2}\omega$，所以质心动能为$\dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2$。细杆绕O点的转动惯量为$\dfrac{1}{12}ml^2$，所以转动动能为$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2$。因此，动能的增加为$\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2$。
步骤 4：列出能量守恒方程
根据能量守恒定律，重力势能的减少等于动能的增加，即$mg\cdot \dfrac{l}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2$。
步骤 5：解方程求角速度
化简方程，得到$mg\cdot \dfrac{l}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m(\dfrac{l}{2}\omega)^2 = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{12}ml^2\cdot \omega^2 + \dfrac{1}{2}m\cdot \dfrac{l^2}{4}\omega^2 = \dfrac{1}{2}m\cdot \dfrac{l^2}{6}\omega^2$。化简得到$\omega^2 = \dfrac{3g}{l}$，所以$\omega = \sqrt{\dfrac{3g}{l}}$。