12.16 已知一维运动的粒子的波函数为-|||-(x)= ^2{e)^-axdx=2((a)^3)
题目解答
答案
解析
本题主要考查量子力学中波函数的归一化、概率密度的计算以及概率最大位置的求解。解题思路如下：
- 求归一化常数：根据波函数的归一化条件，即波函数在整个空间的概率为$1$，对给定的波函数进行积分并令其等于$1$，从而解出归一化常数$A$。
- 求概率密度：概率密度是波函数模的平方，根据波函数的表达式求出其模的平方，即可得到概率密度的表达式。
- 求概率最大位置：对概率密度函数求导，令导数为$0$，解出可能的极值点，再通过判断二阶导数的正负来确定该点是极大值点还是极小值点，从而得到概率最大的位置。
（1）求归一化常数$A$
根据波函数的归一化条件$\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(x)|^2dx = 1$，已知$\varphi (x)=\begin{cases}Ax e^{-\lambda x}, & x\lt 0 \\ 0, & x\geqslant 0\end{cases}$，则有：
$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}|\varphi(x)|^2dx&=\int_{-\infty}^{0}|Ax e^{-\lambda x}|^2dx + \int_{0}^{\infty}|0|^2dx\\&=\int_{-\infty}^{0}A^2x^2 e^{-2\lambda x}dx\end{align*}$
令$t = -x$，则$dt = -dx$，当$x = -\infty$时，$t = \infty$；当$x = 0$时，$t = 0$，上式可化为：
$\begin{align*}\int_{-\infty}^{0}A^2x^2 e^{-2\lambda x}dx&=A^2\int_{\infty}^{0}t^2 e^{2\lambda t}(-dt)\\&=A^2\int_{0}^{\infty}t^2 e^{2\lambda t}dt\end{align*}$
已知积分公式$\int_{0}^{\alpha}x^2 e^{-ax}dx = \frac{2}{a^3}$，则$\int_{0}^{\infty}t^2 e^{2\lambda t}dt = \frac{2}{(2\lambda)^3}$，所以：
$\begin{align*}A^2\int_{0}^{\infty}t^2 e^{2\lambda t}dt&=A^2\cdot\frac{2}{(2\lambda)^3}\\&=\frac{A^2}{4\lambda^3}\end{align*}$
由归一化条件$\frac{A^2}{4\lambda^3} = 1$，解得$A = 2\lambda\sqrt{\lambda}$。
（2）求粒子出现的概率密度
概率密度$|\varphi(x)|^2$为：
当$x\lt 0$时，$|\varphi(x)|^2 = |2\lambda\sqrt{\lambda}x e^{-\lambda x}|^2 = 4\lambda^3x^2 e^{-2\lambda x}$；
当$x\geqslant 0$时，$|\varphi(x)|^2 = |0|^2 = 0$。
所以$|\varphi(x)|^2 = \begin{cases}4\lambda^3x^2 e^{-2\lambda x}, & x\lt 0 \\ 0, & x\geqslant 0\end{cases}$。
（3）求粒子出现概率最大的位置
对概率密度函数$|\varphi(x)|^2 = 4\lambda^3x^2 e^{-2\lambda x}$（$x\lt 0$）求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = 4\lambda^3x^2$，$v = e^{-2\lambda x}$，则：
$u^\prime = 8\lambda^3x$，$v^\prime = -2\lambda e^{-2\lambda x}$，所以$(|\varphi(x)|^2)^\prime = 8\lambda^3x e^{-2\lambda x} + 4\lambda^3x^2 (-2\lambda e^{-2\lambda x}) = 8\lambda^3x e^{-2\lambda x}(1 - \lambda x)$。
令$(|\varphi(x)|^2)^\prime = 0$，即$8\lambda^3x e^{-2\lambda x}(1 - \lambda x) = 0$，因为$\lambda\gt 0$，$e^{-2\lambda x}\gt 0$，所以$x = 0$或$1 - \lambda x = 0$，解得$x = 0$或$x = \frac{1}{\lambda}$。
又因为$x\lt 0$，所以舍去$x = 0$和$x = \frac{1}{\lambda}$。
对$(|\varphi(x)|^2)^\prime$再次求导，判断$x = \frac{1}{\lambda}$处的二阶导数正负：
$\begin{align*}(|\varphi(x)|^2)^{\prime\prime}&=(8\lambda^3x e^{-2\lambda x}(1 - \lambda x))^\prime\\&=8\lambda^3e^{-2\lambda x}(1 - \lambda x) + 8\lambda^3x (-2\lambda e^{-2\lambda x})(1 - \lambda x) + 8\lambda^3x e^{-2\lambda x}(-\lambda)\end{align*}$
将$x = \frac{1}{\lambda}$代入$(|\varphi(x)|^2)^{\prime\prime}$，可得$(|\varphi(x)|^2)^{\prime\prime}\big|_{x = \frac{1}{\lambda}} = -8\lambda^3e^{-2}\lt 0$，所以$x = \frac{1}{\lambda}$是概率密度函数的极大值点，即粒子在$x = \frac{1}{\lambda}$处出现的概率最大。