题目

10.求由抛物线 =(x)^2 及直线 y=1 所围成的均匀薄片(面密度为常数μ )-|||-对于直线 y=-1 的转动惯量.

题目解答

答案

解析

本题考查利用二重积分求平面薄片对于某直线的转动惯量，解题思路如下：

  1. 确定积分区域：
    • 首先，联立抛物线$y = x^2$与直线$y = 1$的方程$\begin{cases}y = x^2\\y = 1\end{cases}$，求解交点。
    • 将$y = 1$代入$y = x^2$，可得$x^2 = 1$，解得$x = \pm1$。
    • 所以积分区域$D$可以表示为$D=\{(x,y)|-\sqrt{y}\leqslant x\leqslant\sqrt{y},0\leqslant y\leqslant 1\}$。
  2. 计算转动惯量：
    • 对于平面薄片对于直线$y = -1$的转动惯量$I$，根据转动惯量的计算公式$I=\iint_{D}\mu d\sigma\cdot r^2$，其中$\mu$是面密度（常数），$r$是薄片上的点到直线$y = -1$的距离，这里$r=y + 1$，所以$I=\iint_{D}\mu(y + 1)^2d\sigma$。
    • 由于积分区域$D$关于$y$轴对称，被积函数$\mu(y + 1)^2$关于$x$是偶函数，根据二重积分的对称性，$\iint_{D}\mu(y + 1)^2d\sigma = 2\iint_{D_{1}}\mu(y + 1)^2d\sigma$，其中$D_{1}=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant\sqrt{y},0\leqslant y\leqslant 1\}$。
    • 则$I = 2\mu\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{\sqrt{y}}(y + 1)^2dx$。
    • 先对$x$积分：$\int_{0}^{\sqrt{y}}(y + 1)^2dx=(y + 1)^2\int_{0}^{\sqrt{y}}dx=(y + 1)^2\cdot x\big|_{0}^{\sqrt{y}}=\sqrt{y}(y + 1)^2$。
    • 再对$y$积分：$I = 2\mu\int_{0}^{1}\sqrt{y}(y + 1)^2dy$。
    • 展开$(y + 1)^2$得$(y + 1)^2=y^2 + 2y + 1$，则$\sqrt{y}(y + 1)^2=(y^2 + 2y + 1)y^{\frac{1}{2}}=y^{\frac{5}{2}}+2y^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{1}{2}}$。
    • 所以$I = 2\mu\int_{0}^{1}(y^{\frac{5}{2}}+2y^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{1}{2}})dy$。
    • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
      • $\int_{0}^{1}y^{\frac{5}{2}}dy=\frac{2}{7}y^{\frac{7}{2}}\big|_{0}^{1}=\frac{2}{7}$；
      • $\int_{0}^{1}2y^{\frac{3}{2}}dy=2\times\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}\big|_{0}^{1}=\frac{4}{5}$；
      • $\int_{0}^{1}y^{\frac{1}{2}}dy=\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}$。
    • 则$I = 2\mu(\frac{2}{7}+\frac{4}{5}+\frac{2}{3})$。
    • 先计算括号内的值：$\frac{2}{7}+\frac{4}{5}+\frac{2}{3}=\frac{30 + 84+70}{105}=\frac{184}{105}$。
    • 所以$I = 2\mu\times\frac{184}{105}=\frac{368}{105}\mu$。