题目
行列式为零,则必有一行(列)全为零,或者两行(列)成比例。A. √B. ×
行列式为零,则必有一行(列)全为零,或者两行(列)成比例。
A. √
B. ×
题目解答
答案
B. ×
解析
考查要点:本题主要考查行列式为零的条件,以及矩阵行(列)之间的线性相关关系的理解。
核心思路:行列式为零的充要条件是矩阵的行(列)向量线性相关。但题目中的结论仅考虑了两种特殊情况(某行全零或两行成比例),而线性相关的情况远不止这两种,例如多行之间存在线性组合关系。因此,原命题的表述不全面,结论错误。
破题关键:通过构造反例(存在行列式为零但既无全零行也无成比例行的情况),直接否定原命题的绝对性。
原命题:若行列式为零,则必有一行(列)全为零,或者两行(列)成比例。
分析:
- 行列式为零的本质:矩阵的行(列)向量线性相关。
- 原命题的局限性:仅考虑了两种线性相关的情形(某行全零或两行成比例),但线性相关还包括更复杂的情况,例如多行之间存在线性组合关系。
- 反例说明:构造一个行列式为零但不符合原命题条件的矩阵,例如:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 7 & 9 \end{pmatrix}$- 第三行是第一行与第二行之和,行列式为零。
- 但无行全零,且任意两行不成比例。
结论:原命题错误,正确答案为 B。