题目
弹簧振子沿~轴作振幅为A的谐振动,其动能和势能比为3:1的位置是 .[] (A)x=0;(A)x=0;(A)x=0;(A)x=0;
弹簧振子沿~轴作振幅为A的谐振动,其动能和势能比为3:1的位置是 .[]
题目解答
答案
弹簧振子的势能和动能比为3:1时，意味着其总机械能 ( E ) 满足：
[ U = 3K ]
其中 ( U ) 是势能，( K ) 是动能。弹簧振子的总机械能 ( E ) 可表达为：
因为 
代入得：
弹簧振子的总机械能 ( E ) 也可以用振幅 ( A ) 和位移 ( x ) 表示：
其中 ( k ) 是弹簧的弹性系数。因此，
动能 ( K ) 还可以表示为：
而势能 ( U ) 可以表示为：
将 
代入，得到：
因此，弹簧振子势能和动能比为3:1的位置是
。答案选项中，正确的表达是
解析
步骤 1：确定动能和势能的关系
根据题目，动能和势能的比为3:1，即势能是动能的3倍。设动能为K，势能为U，则有$U = 3K$。
步骤 2：利用总机械能表达式
弹簧振子的总机械能E可以表示为动能和势能之和，即$E = K + U$。由于$U = 3K$，则$E = K + 3K = 4K$。
步骤 3：利用振幅和位移表达总机械能
总机械能也可以用振幅A和位移x表示，即$E = \dfrac{1}{2}kA^2$。其中，k是弹簧的弹性系数。因此，$4K = \dfrac{1}{2}kA^2$。
步骤 4：利用动能和位移表达式
动能K可以表示为$K = \dfrac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$，其中m是振子的质量，$\omega$是角频率。由于$4K = \dfrac{1}{2}kA^2$，则$K = \dfrac{1}{8}kA^2$。
步骤 5：利用势能和位移表达式
势能U可以表示为$U = \dfrac{1}{2}kx^2$。由于$U = 3K$，则$\dfrac{1}{2}kx^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{8}kA^2$，即$x^2 = \dfrac{3}{4}A^2$。
步骤 6：求解位移x
从$x^2 = \dfrac{3}{4}A^2$，可以得到$x = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}A$。
根据题目，动能和势能的比为3:1，即势能是动能的3倍。设动能为K，势能为U，则有$U = 3K$。
步骤 2：利用总机械能表达式
弹簧振子的总机械能E可以表示为动能和势能之和，即$E = K + U$。由于$U = 3K$，则$E = K + 3K = 4K$。
步骤 3：利用振幅和位移表达总机械能
总机械能也可以用振幅A和位移x表示，即$E = \dfrac{1}{2}kA^2$。其中，k是弹簧的弹性系数。因此，$4K = \dfrac{1}{2}kA^2$。
步骤 4：利用动能和位移表达式
动能K可以表示为$K = \dfrac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2)$，其中m是振子的质量，$\omega$是角频率。由于$4K = \dfrac{1}{2}kA^2$，则$K = \dfrac{1}{8}kA^2$。
步骤 5：利用势能和位移表达式
势能U可以表示为$U = \dfrac{1}{2}kx^2$。由于$U = 3K$，则$\dfrac{1}{2}kx^2 = 3 \cdot \dfrac{1}{8}kA^2$，即$x^2 = \dfrac{3}{4}A^2$。
步骤 6：求解位移x
从$x^2 = \dfrac{3}{4}A^2$，可以得到$x = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}A$。