填空题（共5题，20.0分）16.（4.0分）已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=6P(X=3)，则λ=____.

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率公式及其参数求解，需要学生掌握泊松分布的概率质量函数，并能根据给定条件建立方程求解参数。

解题核心思路：

1. 写出泊松分布的概率表达式，分别代入$X=1$和$X=3$的情况。
2. 建立方程$P(X=1) = 6P(X=3)$，通过代数变形化简方程。
3. 排除不符合泊松分布参数条件的解（$\lambda$必须为正数）。

破题关键点：

• 正确写出泊松分布的公式，注意分母的阶乘项。
• 消去公共因子$e^{-\lambda}$简化方程。
• 验证解的合理性，确保$\lambda$为正数。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

步骤1：写出$P(X=1)$和$P(X=3)$的表达式

• 当$k=1$时：
  $P(X=1) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = e^{-\lambda} \lambda$
• 当$k=3$时：
  $P(X=3) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{6}$

步骤2：根据条件建立方程
题目给出$P(X=1) = 6P(X=3)$，代入表达式：
$e^{-\lambda} \lambda = 6 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{6}$
化简得：
$\lambda = \lambda^3$

步骤3：解方程并筛选合理解
将方程变形为：
$\lambda^3 - \lambda = 0 \implies \lambda (\lambda^2 - 1) = 0 \implies \lambda (\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$
解得：
$\lambda = 0, \quad \lambda = 1, \quad \lambda = -1$
由于泊松分布的参数$\lambda$必须为正数，故排除$\lambda = 0$和$\lambda = -1$，最终得：
$\lambda = 1$

验证：
将$\lambda = 1$代入原条件：
$P(X=1) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}, \quad P(X=3) = \frac{e^{-1} \cdot 1^3}{6} = \frac{1}{6e}$
显然$P(X=1) = 6 \cdot \frac{1}{6e} = \frac{1}{e}$，条件成立。