题目
14-18 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半,试问-|||-宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少(以光速c表示)?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量
设宇宙飞船的固有长度为 $l_0$，它相对于惯性系的速率为 $v$，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为 $l$。根据题意，$l = \frac{l_0}{2}$。
步骤 2：应用洛伦兹长度收缩公式
根据洛伦兹长度收缩公式，有 $l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。将 $l = \frac{l_0}{2}$ 代入公式，得到 $\frac{l_0}{2} = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。
步骤 3：解方程求解速度
化简方程 $\frac{l_0}{2} = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，得到 $\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。两边平方，得到 $\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$。移项并化简，得到 $\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。因此，$v^2 = \frac{3}{4}c^2$，从而 $v = \sqrt{\frac{3}{4}}c = \frac{\sqrt{3}}{2}c = 0.866c$。
设宇宙飞船的固有长度为 $l_0$，它相对于惯性系的速率为 $v$，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为 $l$。根据题意，$l = \frac{l_0}{2}$。
步骤 2：应用洛伦兹长度收缩公式
根据洛伦兹长度收缩公式，有 $l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。将 $l = \frac{l_0}{2}$ 代入公式，得到 $\frac{l_0}{2} = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。
步骤 3：解方程求解速度
化简方程 $\frac{l_0}{2} = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，得到 $\frac{1}{2} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。两边平方，得到 $\frac{1}{4} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$。移项并化简，得到 $\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。因此，$v^2 = \frac{3}{4}c^2$，从而 $v = \sqrt{\frac{3}{4}}c = \frac{\sqrt{3}}{2}c = 0.866c$。