题目
5-3. 如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质-|||-量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动-|||-惯量为 (R)^2/2, 试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系。-|||-R-|||-M-|||-T-|||-m-|||-mg
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析物体的受力情况
物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，物体的加速度a与拉力T和重力mg的关系为：
$mg-T=ma=m\dfrac {dv}{dt}$
步骤 2：分析定滑轮的转动情况
定滑轮受到绳子的拉力T，根据转动定律，定滑轮的角加速度β与拉力T和转动惯量J的关系为：
$TR=J\beta =\dfrac {1}{2}M{R}^{2}\beta$
步骤 3：联立求解
由于绳子与定滑轮之间无滑动，物体的加速度a与定滑轮的角加速度β的关系为：
$\dfrac {dv}{dt}=R\beta$
联立以上三个方程，可以得到：
$(m+\dfrac {1}{2}M)\dfrac {dv}{dt}=mg$
步骤 4：求解速度与时间的关系
对上式进行积分，得到速度v与时间t的关系：
${\int }_{0}^{v}dv={\int }_{0}^{t}\dfrac {m}{m+\dfrac {1}{2}M}gdt$
$v=\dfrac {mgt}{m+\dfrac {M}{2}}$
物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，物体的加速度a与拉力T和重力mg的关系为：
$mg-T=ma=m\dfrac {dv}{dt}$
步骤 2：分析定滑轮的转动情况
定滑轮受到绳子的拉力T，根据转动定律，定滑轮的角加速度β与拉力T和转动惯量J的关系为：
$TR=J\beta =\dfrac {1}{2}M{R}^{2}\beta$
步骤 3：联立求解
由于绳子与定滑轮之间无滑动，物体的加速度a与定滑轮的角加速度β的关系为：
$\dfrac {dv}{dt}=R\beta$
联立以上三个方程，可以得到：
$(m+\dfrac {1}{2}M)\dfrac {dv}{dt}=mg$
步骤 4：求解速度与时间的关系
对上式进行积分，得到速度v与时间t的关系：
${\int }_{0}^{v}dv={\int }_{0}^{t}\dfrac {m}{m+\dfrac {1}{2}M}gdt$
$v=\dfrac {mgt}{m+\dfrac {M}{2}}$