质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，和一 质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 m 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 mB C 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为 多少？（2） 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速 率是多少?

考查要点：本题综合考查滑轮系统的动力学问题，涉及平移动力学与转动动力学的结合，需要运用牛顿第二定律和转动定律联立求解。

解题核心思路：

1. 隔离法分别对物体A、B和滑轮进行受力分析；
2. 建立物体A、B的平移动力学方程；
3. 建立滑轮的转动方程，通过张力差提供角加速度；
4. 联立方程求解加速度和张力；
5. 对第（2）问，利用匀加速运动学公式或动能定理求速率。

破题关键点：

• 明确滑轮的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}mR^2$；
• 理解线加速度与角加速度的关系 $a = R\alpha$；
• 正确处理滑轮两侧张力差与转动惯量的关系。

第（1）题

步骤1：对物体A列方程

物体A水平方向受绳索张力 $T_1$，由牛顿第二定律：
$T_1 = m_A a \tag{1}$

步骤2：对物体B列方程

物体B竖直方向受重力 $m_B g$ 和张力 $T_2$，由牛顿第二定律：
$m_B g - T_2 = m_B a \tag{2}$

步骤3：对滑轮列转动方程

滑轮的转动惯量为 $I = \frac{1}{2}mR^2$，张力差提供角加速度：
$(T_2 - T_1)R = I \alpha = \frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{a}{R} \tag{3}$
化简得：
$T_2 - T_1 = \frac{1}{2}m a \tag{4}$

步骤4：联立方程求解

将式（1）代入式（4）：
$T_2 = T_1 + \frac{1}{2}m a = m_A a + \frac{1}{2}m a = a\left(m_A + \frac{1}{2}m\right) \tag{5}$
将式（5）代入式（2）：
$m_B g - a\left(m_A + \frac{1}{2}m\right) = m_B a$
解得加速度：
$a = \frac{m_B g}{m_A + m_B + \frac{1}{2}m} \tag{6}$

步骤5：求张力 $T_1$ 和 $T_2$

将式（6）代入式（1）和式（5）：
$T_1 = m_A \cdot \frac{m_B g}{m_A + m_B + \frac{1}{2}m} \tag{7}$
$T_2 = \frac{m_B g \left(m_A + \frac{1}{2}m\right)}{m_A + m_B + \frac{1}{2}m} \tag{8}$

第（2）题

物体B做匀加速直线运动，由运动学公式：
$v^2 = 2a y \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2a y}$
将式（6）代入得：
$v = \sqrt{\frac{2 m_B g y}{m_A + m_B + \frac{1}{2}m}} \tag{9}$