y(x)-|||-3、在宽为a的一维无限深势贤中运动的粒子,它的一个定态波函数-|||-(a)-|||-如图(a)所示,对应的总能量为4eV,若它处于另一个波函数如图(b)-|||-(b)-|||-的态上,它的总能量是 __ eV,粒子的基态能量是 __ eV =-|||-0 >x

本题主要考察一维无限深势阱中粒子的能级公式及波函数节点数与主量子数的关系。

关键知识点

一维无限深势阱（宽度为$a$）中粒子的定态能量公式为：
$E_n = n^2 E_0$
其中：

• $n=11,2,3,\dots$ 为主量子数（标记能级），
• $E_0 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$ 为基态能量（零点能），
• 波函数节点数规律：$n$ 能级的波函数在势阱内（$0

步骤1：根据图(a)确定主量子数$n$及基态能量$E_0$

题目中“图(a)的波函数”对应总能量$E=4\,\text{eV}$。根据节点数规律：

• 若波函数有$1$个节点（$n-1=1\Rightarrow n=2$），则$E_2 = 2^2 E_0 = 4E_0$。
• 代入$E_2=4\,\text{eV}$，得$4E_0=4\,\text{eV}\Rightarrow E_0=1\,\text{eV}$。

步骤2：根据图(b)的波函数求能量

图(b)的波函数节点数为$2$（$n-1=2\Rightarrow n=3$），则能量为：
$E_3 = 3^2 E_0 = 9E_0 = 9\times1\,\text{eV}=9\,\text{eV}$