题目
2-1-3 质量 m=10g 的小球与轻弹簧组成的振动系统,按 x=-|||-.5cos (8pi t+dfrac (pi )(3)) 的规律作自由振动,式中t以秒作单位,x以厘米为单位,-|||-求:(1)振动的角频率、周期、振幅和初相;(2)振动的速度、加速度的数值表达-|||-式;(3)振动的能量E;(4)平均动能和平均势能。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定振动的角频率、周期、振幅和初相
根据给定的振动方程 $x=0.5\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$，我们可以直接读出角频率 $\omega$、振幅 $A$ 和初相 $\varphi$。周期 $T$ 可以通过角频率 $\omega$ 计算得到。
步骤 2：计算振动的速度和加速度
振动的速度 $v$ 是位移 $x$ 对时间 $t$ 的一阶导数，加速度 $a$ 是位移 $x$ 对时间 $t$ 的二阶导数。根据给定的振动方程，我们可以计算出速度和加速度的表达式。
步骤 3：计算振动的能量
振动的能量 $E$ 可以通过弹簧的弹性势能公式计算得到，即 $E=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$A$ 是振幅。
步骤 4：计算平均动能和平均势能
平均动能 ${E}_{k}$ 和平均势能 ${E}_{p}$ 可以通过积分计算得到，即 ${E}_{k}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}m{v}^{2}dt$ 和 ${E}_{p}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}k{x}^{2}dt$。
根据给定的振动方程 $x=0.5\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$，我们可以直接读出角频率 $\omega$、振幅 $A$ 和初相 $\varphi$。周期 $T$ 可以通过角频率 $\omega$ 计算得到。
步骤 2：计算振动的速度和加速度
振动的速度 $v$ 是位移 $x$ 对时间 $t$ 的一阶导数，加速度 $a$ 是位移 $x$ 对时间 $t$ 的二阶导数。根据给定的振动方程，我们可以计算出速度和加速度的表达式。
步骤 3：计算振动的能量
振动的能量 $E$ 可以通过弹簧的弹性势能公式计算得到，即 $E=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$A$ 是振幅。
步骤 4：计算平均动能和平均势能
平均动能 ${E}_{k}$ 和平均势能 ${E}_{p}$ 可以通过积分计算得到，即 ${E}_{k}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}m{v}^{2}dt$ 和 ${E}_{p}=\dfrac {1}{T}{\int }_{0}^{T}\dfrac {1}{2}k{x}^{2}dt$。