题目

一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x_1=0.02cos(5t+(pi)/(3))(SI) 和 x_2=0.05cos(5t-(2pi)/(3))(SI)，则其合成振动的振幅为 A= ____m，初相为 varphi= ____pi。(答案均保留2位小数，取0 leq varphi < 2pi)

一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 $x_1=0.02\cos\left(5t+\frac{\pi}{3}\right)$(SI) 和 $x_2=0.05\cos\left(5t-\frac{2\pi}{3}\right)$(SI)，则其合成振动的振幅为 $A=$ ____m，初相为 $\varphi=$ ____$\pi$。(答案均保留2位小数，取$0 \leq \varphi < 2\pi$)

题目解答

答案

根据题目给出的两个振动方程，可将它们表示为复数形式： \[ \vec{X}_1 = 0.01 + i0.01\sqrt{3}, \quad \vec{X}_2 = -0.025 - i0.025\sqrt{3} \] 合成后： \[ \vec{X} = -0.015 - i0.015\sqrt{3} \] 振幅为： \[ A = \sqrt{(-0.015)^2 + (-0.015\sqrt{3})^2} = 0.03 \, \text{m} \] 初相为： \[ \tan\phi = \sqrt{3}, \quad \phi = \frac{4\pi}{3} \approx 1.33\pi \] （因 $ \vec{X} $ 在第三象限，故 $ \phi = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $）。 答案： 第1空：0.03 第2空：1.33

解析

本题考查同方向简谐振动的合成知识，解题思路是先将两个简谐振动方程转化为复数形式，然后将这两个复数相加得到合成振动的复数形式，最后根据复数形式求出合成振动的振幅和初相。

  1. 将简谐振动方程转化为复数形式：
    • 对于简谐振动方程$x = A\cos(\omega t+\varphi)$，其复数形式为$\vec{X}=A\cos\varphi + iA\sin\varphi$。
    • 对于$x_1 = 0.02\cos(5t+\frac{\pi}{3})$，其中$A_1 = 0.02$，$\varphi_1=\frac{\pi}{3}$，则$\vec{X}_1=A_1\cos\varphi_1 + iA_1\sin\varphi_1$。
      • 计算$A_1\cos\varphi_1=0.02\cos\frac{\pi}{3}=0.02\times\frac{1}{2}=0.01$。
      • 计算$A_1\sin\varphi_1=0.02\sin\frac{\pi}{3}=0.02\times\frac{\sqrt{3}}{2}=0.01\sqrt{3}$。
      • 所以$\vec{X}_1 = 0.01 + i0.01\sqrt{3}$。
    • 对于$x_2 = 0.05\cos(5t - \frac{2\pi}{3})$，其中$A_2 = 0.05$，$\varphi_2=-\frac{2\pi}{3}$，则$\vec{X}_2=A_2\cos\varphi_2 + iA_2\sin\varphi_2$。
      • 计算$A_2\cos\varphi_2=0.05\cos(-\frac{2\pi}{3})=0.05\times(-\frac{1}{2})=-0.025$。
      • 计算$A_2\sin\varphi_2=0.05\sin(-\frac{2\pi}{3})=0.05\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-0.025\sqrt{3}$。
      • 所以$\vec{X}_2 = -0.025 - i0.025\sqrt{3}$。
  2. 计算合成振动的复数形式：
    • $\vec{X}=\vec{X}_1+\vec{X}_2=(0.01 - 0.025)+i(0.01\sqrt{3}-0.025\sqrt{3})$。
    • 计算实部$0.01 - 0.025=-0.015$，虚部$0.01\sqrt{3}-0.025\sqrt{3}=-0.015\sqrt{3}$。
    • 所以$\vec{X} = -0.015 - i0.015\sqrt{3}$。
  3. 计算合成振动的振幅$A$：
    • 对于复数$\vec{X}=x + iy$，其模$A=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，这里$x=-0.015$，$y=-0.015\sqrt{3}$。
    • 则$A = \sqrt{(-0.015)^2 + (-0.015\sqrt{3})^2}$
      • 先计算$(-0.015)^2=0.000225$，$(-0.015\sqrt{3})^2=0.015^2\times3 = 0.000225\times3=0.000675$。
      • 再计算$A=\sqrt{0.000225 + 0.000675}=\sqrt{0.0009}=0.03\mathrm{m}$。
  4. 计算合成振动的初相$\varphi$：
    • 对于复数$\vec{X}=x + iy$，$\tan\varphi=\frac{y}{x}$，这里$x=-0.015$，$y=-0.015\sqrt{3}$，则$\tan\varphi=\frac{-0.015\sqrt{3}}{-0.015}=\sqrt{3}$。
    • 因为$\vec{X}=-0.015 - i0.015\sqrt{3}$，实部$x=-0.015\lt0$，虚部$y=-0.015\sqrt{3}\lt0$，所以$\vec{X}$在第三象限。
    • 而$\tan\varphi=\sqrt{3}$，在$0\leq\varphi\lt2\pi$范围内，满足条件的$\varphi=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\approx1.33\pi$。