一质点的振动方程是X=10cos(100t+π/3) cm ,已知该质点的振动是两个同方向同频率的两个简谐振动合成的,其中一个简谐振动为X1=10cos100t cm,则另外一个简谐振动的振幅为:A. 20cm; B. 10sqrt (3)cm; C. 10cm ; D. 20sqrt (3)cm; E. 以上均不对.

本题考查同方向同频率简谐振动的合成知识。解题思路是先明确同方向同频率简谐振动合成的公式，再根据已知条件求出另一个简谐振动的表达式，进而得出其振幅。

设另一个简谐振动为$X_2 = A_2\cos(100t + \varphi_2)$，已知$X = X_1 + X_2$，$X = 10\cos(100t + \frac{\pi}{3})$，$X_1 = 10\cos100t$。

根据三角函数两角和公式$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$，将$X$展开：
$X = 10\cos(100t + \frac{\pi}{3})=10(\cos100t\cos\frac{\pi}{3}-\sin100t\sin\frac{\pi}{3})$
$=10\times\frac{1}{2}\cos100t - 10\times\frac{\sqrt{3}}{2}\sin100t = 5\cos100t - 5\sqrt{3}\sin100t$

又因为$X = X_1 + X_2 = 10\cos100t+A_2\cos(100t + \varphi_2)$，再将$A_2\cos(100t + \varphi_2)$展开：
$A_2\cos(100t + \varphi_2)=A_2(\cos100t\cos\varphi_2-\sin100t\sin\varphi_2)$
$=A_2\cos\varphi_2\cos100t - A_2\sin\varphi_2\sin100t$

所以$X = 10\cos100t+A_2\cos\varphi_2\cos100t - A_2\sin\varphi_2\sin100t=(10 + A_2\cos\varphi_2)\cos100t - A_2\sin\varphi_2\sin100t$

则可得方程组$\begin{cases}10 + A_2\cos\varphi_2 = 5\\- A_2\sin\varphi_2 = - 5\sqrt{3}\end{cases}$
由第一个方程可得$A_2\cos\varphi_2 = 5 - 10=-5$
将$A_2\cos\varphi_2 = -5$和$- A_2\sin\varphi_2 = - 5\sqrt{3}$两边分别平方后相加：
$(A_2\cos\varphi_2)^2+(- A_2\sin\varphi_2)^2=(-5)^2+(- 5\sqrt{3})^2$
根据三角函数平方关系$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1$，上式可化为$A_2^2(\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2)=25 + 75$
即$A_2^2=100$，解得$A_2 = 10\sqrt{3}\text{cm}$