两种不同的理想气体,若它们的最概然速率相等,则它们的A. 平均速率相等,方均根速率相等B. 平均速率相等,方均根速率不相等C. 平均速率不相等,方均根速率相等D. 平均速率不相等,方均根速率不相等

考查要点：本题主要考查理想气体分子速率分布中的最概然速率、平均速率、方均根速率之间的关系，以及不同气体在特定条件下这些速率的比较。

解题核心思路：

1. 明确三个速率的公式：最概然速率 $v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$，平均速率 $v_{\text{avg}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$，方均根速率 $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$。
2. 建立温度与分子质量的关系：当两种气体的最概然速率相等时，可推导出它们的温度与分子质量满足 $T_1/m_1 = T_2/m_2$。
3. 代入其他速率公式：通过上述关系，代入平均速率和方均根速率的公式，判断是否相等。

破题关键点：

• 最概然速率相等隐含温度与分子质量的反比例关系。
• 平均速率和方均根速率的公式中，温度与分子质量的比值被整体抵消，因此两种气体的平均速率和方均根速率必然相等。

步骤1：最概然速率相等的条件

根据最概然速率公式：
$v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}}$
若两种气体的最概然速率相等，则有：
$\sqrt{\frac{2kT_1}{m_1}} = \sqrt{\frac{2kT_2}{m_2}}$
两边平方后得：
$\frac{T_1}{m_1} = \frac{T_2}{m_2} \quad \text{即} \quad T_1 = \frac{m_1}{m_2} T_2$

步骤2：比较平均速率

平均速率公式为：
$v_{\text{avg}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$
将 $T_1 = \frac{m_1}{m_2} T_2$ 代入气体1的平均速率：
$v_{\text{avg1}} = \sqrt{\frac{8k \cdot \frac{m_1}{m_2} T_2}{\pi m_1}} = \sqrt{\frac{8k T_2}{\pi m_2}} = v_{\text{avg2}}$
因此，平均速率相等。

步骤3：比较方均根速率

方均根速率公式为：
$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
将 $T_1 = \frac{m_1}{m_2} T_2$ 代入气体1的方均根速率：
$v_{\text{rms1}} = \sqrt{\frac{3k \cdot \frac{m_1}{m_2} T_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{3k T_2}{m_2}} = v_{\text{rms2}}$
因此，方均根速率相等。