题目
9-1 两根无限长平行直导线载有大小相等、方向相反的电流 =(I)_(0)(e)^-dt, 一矩形-|||-线圈位于导线平面内,几何尺寸如图所示,求线圈中的感应电动势及其方向.-|||-I-|||-d-|||-I d-|||-d-|||-h-|||-题 9-1 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
两根无限长平行直导线载有大小相等、方向相反的电流 $I={I}_{0}{e}^{-dt}$，根据毕奥-萨伐尔定律，每根导线在空间中产生的磁场为：
$$
B_{1}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r_{1}}=\frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi r_{1}}
$$
$$
B_{2}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r_{2}}=\frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi r_{2}}
$$
其中，$r_{1}$ 和 $r_{2}$ 分别是两根导线到线圈中心的距离。
步骤 2：计算线圈中的磁通量
线圈中的磁通量 $\Phi$ 可以通过积分计算得到，由于磁场在导线之间是均匀的，因此可以简化为：
$$
\Phi = \int_{S} B \cdot dS = B_{1} \cdot A - B_{2} \cdot A
$$
其中，$A$ 是线圈的面积，$B_{1}$ 和 $B_{2}$ 分别是两根导线在导线之间产生的磁场。
$$
\Phi = \frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) A
$$
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 $E$ 为：
$$
E = -\frac{d\Phi}{dt}
$$
将 $\Phi$ 的表达式代入，得到：
$$
E = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) A \right)
$$
$$
E = \frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) A \cdot d
$$
步骤 4：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向与原电流方向相反，即沿逆时针方向。
两根无限长平行直导线载有大小相等、方向相反的电流 $I={I}_{0}{e}^{-dt}$，根据毕奥-萨伐尔定律，每根导线在空间中产生的磁场为：
$$
B_{1}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r_{1}}=\frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi r_{1}}
$$
$$
B_{2}=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r_{2}}=\frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi r_{2}}
$$
其中，$r_{1}$ 和 $r_{2}$ 分别是两根导线到线圈中心的距离。
步骤 2：计算线圈中的磁通量
线圈中的磁通量 $\Phi$ 可以通过积分计算得到，由于磁场在导线之间是均匀的，因此可以简化为：
$$
\Phi = \int_{S} B \cdot dS = B_{1} \cdot A - B_{2} \cdot A
$$
其中，$A$ 是线圈的面积，$B_{1}$ 和 $B_{2}$ 分别是两根导线在导线之间产生的磁场。
$$
\Phi = \frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) A
$$
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势 $E$ 为：
$$
E = -\frac{d\Phi}{dt}
$$
将 $\Phi$ 的表达式代入，得到：
$$
E = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) A \right)
$$
$$
E = \frac{\mu_{0}I_{0}e^{-dt}}{2\pi} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) A \cdot d
$$
步骤 4：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向与原电流方向相反，即沿逆时针方向。