题目
设总体 X 服从正态分布 N(mu,1)，X_1, X_2, dotsc, X_9是从总体 X 中抽取的样本。考虑假设检验问题:H_0: mu = 6，H_1: mu = 7。若检验的拒绝域为 W = overline{X)ge 6.5}，则该检验犯第二类错误的概率 ()。A. phi(0.5) B. 1 - phi(1.5) C. 1 - phi(0.5) D. phi(1.5)
设总体 $X $服从正态分布 $N(\mu,1)$，$X\_1, X\_2, \dotsc, X\_9$是从总体 $X $中抽取的样本。考虑假设检验问题:$H\_0: \mu = 6$，$H\_1: \mu = 7$。若检验的拒绝域为 $W = \{ \overline{X}\ge 6.5\}$，则该检验犯第二类错误的概率 ()。
A. $$ $\phi(0.5)$ $$
B. $$ $1\ \ - \phi(1.5)$ $$
C. $$ $1\ \ - \phi(0.5)$ $$
D. $$ $\phi(1.5)$ $$
题目解答
答案
B. $$ $1\ \ - \phi(1.5)$ $$
解析
步骤 1：确定检验统计量
由于总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,1)$，且样本容量为 $9$，因此样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \frac{1}{9})$。检验统计量为 $\overline{X}$。
步骤 2：计算第二类错误的概率
第二类错误的概率是指在原假设 $H_0: \mu = 6$ 为假时，检验统计量落在接受域内的概率。即在 $H_1: \mu = 7$ 为真时，$\overline{X}$ 落在 $[6, 6.5)$ 内的概率。由于 $\overline{X}$ 服从 $N(7, \frac{1}{9})$，我们需要计算 $\overline{X}$ 落在 $[6, 6.5)$ 内的概率。
步骤 3：标准化并计算概率
标准化后，$\overline{X}$ 落在 $[6, 6.5)$ 内的概率转化为标准正态分布 $N(0,1)$ 中 $Z$ 落在 $[-3, -1.5)$ 内的概率。即 $P(-3 \leq Z < -1.5) = \phi(-1.5) - \phi(-3)$。由于 $\phi(-x) = 1 - \phi(x)$，因此 $P(-3 \leq Z < -1.5) = (1 - \phi(1.5)) - (1 - \phi(3)) = \phi(3) - \phi(1.5)$。由于 $\phi(3)$ 接近于 $1$，因此第二类错误的概率近似为 $1 - \phi(1.5)$。
由于总体 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,1)$，且样本容量为 $9$，因此样本均值 $\overline{X}$ 也服从正态分布 $N(\mu, \frac{1}{9})$。检验统计量为 $\overline{X}$。
步骤 2：计算第二类错误的概率
第二类错误的概率是指在原假设 $H_0: \mu = 6$ 为假时，检验统计量落在接受域内的概率。即在 $H_1: \mu = 7$ 为真时，$\overline{X}$ 落在 $[6, 6.5)$ 内的概率。由于 $\overline{X}$ 服从 $N(7, \frac{1}{9})$，我们需要计算 $\overline{X}$ 落在 $[6, 6.5)$ 内的概率。
步骤 3：标准化并计算概率
标准化后，$\overline{X}$ 落在 $[6, 6.5)$ 内的概率转化为标准正态分布 $N(0,1)$ 中 $Z$ 落在 $[-3, -1.5)$ 内的概率。即 $P(-3 \leq Z < -1.5) = \phi(-1.5) - \phi(-3)$。由于 $\phi(-x) = 1 - \phi(x)$，因此 $P(-3 \leq Z < -1.5) = (1 - \phi(1.5)) - (1 - \phi(3)) = \phi(3) - \phi(1.5)$。由于 $\phi(3)$ 接近于 $1$，因此第二类错误的概率近似为 $1 - \phi(1.5)$。