一铜球的直径为 3 , (cm)，初始温度为 100 ,^circ (C)，突然浸入 20 ,^circ (C) 的流体中，表面传热数为 50 , (W) / ((m)^2 cdot (K))。求铜球冷却到 40 ,^circ (C) 所需要的时间。
一铜球的直径为 $3 \, \text{cm}$，初始温度为 $100 \,^{\circ} \text{C}$，突然浸入 $20 \,^{\circ} \text{C}$ 的流体中，表面传热数为 $50 \, \text{W} / (\text{m}^2 \cdot \text{K})$。求铜球冷却到 $40 \,^{\circ} \text{C}$ 所需要的时间。
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查非稳态传热中的集总热容法应用，涉及毕渥数判断、温度变化方程的建立与求解。
解题核心思路：
- 判断是否适用集总热容法：通过计算毕渥数（Bi），验证Bi < 0.1的条件是否满足。
- 建立温度变化方程：利用集总热容法的指数衰减公式，联立已知条件求解时间。
- 代入参数计算：注意单位统一和物理量的正确代入。
破题关键点：
- 正确计算特征长度（球体特征长度$L_c = D/6$）。
- 准确代入公式，注意单位换算（如直径转半径、厘米转米）。
步骤1：判断集总热容法适用性
毕渥数公式：
$\text{Bi} = \frac{h L_c}{k}$
其中，特征长度$L_c = \frac{D}{6} = \frac{3 \, \text{cm}}{6} = 0.005 \, \text{m}$，代入数据：
$\text{Bi} = \frac{50 \, \text{W}/(\text{m}^2 \cdot \text{K}) \times 0.005 \, \text{m}}{385 \, \text{W}/(\text{m} \cdot \text{K})} \approx 0.00065 \ll 0.1$
满足条件，可用集总热容法。
步骤2：建立温度变化方程
集总热容法的温度公式为：
$\frac{T(t) - T_\infty}{T(0) - T_\infty} = \exp\left(-\frac{h L_c}{\rho c_p} t\right)$
变形得时间表达式：
$t = -\frac{\rho c_p r}{3h} \ln\left(\frac{T(t) - T_\infty}{T(0) - T_\infty}\right)$
步骤3：代入已知参数
- 铜的密度$\rho = 8960 \, \text{kg}/\text{m}^3$，比热容$c_p = 385 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{K})$
- 半径$r = \frac{3}{2} \, \text{cm} = 0.015 \, \text{m}$
- 温度比$\frac{T(t)-T_\infty}{T(0)-T_\infty} = \frac{40-20}{100-20} = 0.25$
- $\ln(0.25) = -1.386$
计算：
$t = \frac{8960 \times 385 \times 0.015}{3 \times 50} \times 1.386 \approx 478.5 \, \text{s}$