题目
24载有电流的I长直导线附近,放一导体半圆环MeN与长直导线共面,且端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a.设半圆环以速度平行导线平移,求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压UM-UN
24载有电流的I长直导线附近,放一导体半圆环MeN与长直导线共面,且端点MN的连
线与长直导线垂直.半圆环的半径为b,环心O与导线相距a.设半圆环以速度平行导
线平移,求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压UM-U
N
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定半圆环的运动和磁场
半圆环以速度v平行于长直导线平移，长直导线产生磁场B，根据毕奥-萨伐尔定律，磁场B的大小为$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}$，其中r是到导线的距离，${\mu}_0$是真空磁导率，I是导线中的电流。
步骤 2：计算半圆环上的动生电动势
半圆环上的动生电动势$e_{MeN}$可以通过积分计算，即$e_{MeN}=\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$。由于半圆环与导线共面，且端点MN的连线与导线垂直，可以引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM，闭合回路总电动势为0，即$e_{MeN}+e_{NM}=0$，因此$e_{MeN}=-e_{NM}$。
步骤 3：计算MN上的动生电动势
MN上的动生电动势$e_{NM}$可以通过积分计算，即$e_{NM}=\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$。由于MN与导线平行，可以简化为$e_{NM}=v\int Bdl$。将磁场B的表达式代入，得到$e_{NM}=v\int_{a-b}^{a+b}\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}dl$。积分后得到$e_{NM}=\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln\dfrac{a+b}{a-b}$。
步骤 4：确定半圆环内感应电动势的大小和方向
由于$e_{MeN}=-e_{NM}$，因此半圆环内感应电动势的大小为$e_{MeN}=-\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln\dfrac{a+b}{a-b}$，方向为N→M。
步骤 5：计算MN两端的电压UM-UN
MN两端的电压UM-UN等于MN上的动生电动势，即$U_M-U_N=e_{NM}=\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln\dfrac{a+b}{a-b}$。
半圆环以速度v平行于长直导线平移，长直导线产生磁场B，根据毕奥-萨伐尔定律，磁场B的大小为$B=\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}$，其中r是到导线的距离，${\mu}_0$是真空磁导率，I是导线中的电流。
步骤 2：计算半圆环上的动生电动势
半圆环上的动生电动势$e_{MeN}$可以通过积分计算，即$e_{MeN}=\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$。由于半圆环与导线共面，且端点MN的连线与导线垂直，可以引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM，闭合回路总电动势为0，即$e_{MeN}+e_{NM}=0$，因此$e_{MeN}=-e_{NM}$。
步骤 3：计算MN上的动生电动势
MN上的动生电动势$e_{NM}$可以通过积分计算，即$e_{NM}=\int (\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{l}$。由于MN与导线平行，可以简化为$e_{NM}=v\int Bdl$。将磁场B的表达式代入，得到$e_{NM}=v\int_{a-b}^{a+b}\dfrac{{\mu}_0I}{2\pi r}dl$。积分后得到$e_{NM}=\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln\dfrac{a+b}{a-b}$。
步骤 4：确定半圆环内感应电动势的大小和方向
由于$e_{MeN}=-e_{NM}$，因此半圆环内感应电动势的大小为$e_{MeN}=-\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln\dfrac{a+b}{a-b}$，方向为N→M。
步骤 5：计算MN两端的电压UM-UN
MN两端的电压UM-UN等于MN上的动生电动势，即$U_M-U_N=e_{NM}=\dfrac{{\mu}_0Iv}{2\pi}\ln\dfrac{a+b}{a-b}$。