例8.34 圆柱形电容器长为l,内、外半径分别为R1和 _(2)((R)_(1)lt (R)_(2)). 两-|||-极上均匀带电荷为 +0 和 -Q 试求电容器电场中的能量.

本题主要考察圆柱形电容器电场能量的计算及通过能量公式间接推导电容的方法，核心知识点包括高斯定理求电场分布、电场能量体密度公式以及积分计算电场能量。

步骤1：求电容器内的电场分布

圆柱形电容器内、外半径分别为$R_1$和$R_2$，带电量$\pm Q$，单位长度电荷量$\lambda=\frac{Q}{l}$。根据高斯定理，在半径$r(R_1 $E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$
方向沿径向。

步骤2：计算电场能量体密度

电场能量体密度公式为$\omega=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$，代入$E$得：
$\omega=\frac{1}{2}\varepsilon_0\left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\right)^2=\frac{\lambda^2}{8\pi^2\varepsilon_0 r^2}$

步骤3：体积元能量积分

取半径$r$、厚度$dr$、长$l$的圆柱薄层为体积元，体积$dV=2\pi r l dr$，则体积元能量：
$dW=\omega dV=\frac{\lambda^2}{8\pi^2\varepsilon_0 r^2}\cdot 2\pi r l dr=\frac{\lambda^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{dr}{r}$

步骤4：总电场能量

对$r$从$R_1$到$R_2$积分得总能量：
$W=\int_{R_1}^{R_2}dW=\frac{\lambda^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r}=\frac{\lambda^2 l}{4\pi\varepsilon_0}\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)$
代入$\lambda=\frac{Q}{l}$，得：
$W=\frac{Q^2}{2}\cdot\frac{l}{4\pi\varepsilon_0\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$

步骤5：间接推导电容

由电容器能量公式$W=\frac{Q^2}{2C}$，对比得：
$C=\frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$