题目
若 f(v) 为气体分子速率分布函数, N 为分子总数, m 为分子质量, 则 int_(v_1)^v_2 (1)/(2) m N v^2 f(v) , dv 的物理意义是()。A. 速率为 v_2 的各分子的总平动动能与速率为 v_1 的各分子的总平动动能之差B. 速率为 v_2 的各分子的总平动动能与速率为 v_1 的各分子的总平动动能之和C. 速率处在速率间隔 [v_1, v_2] 之内的分子的平均平动动能D. 速率处在速率间隔 [v_1, v_2] 之内的分子平动动能之和
若 $f(v)$ 为气体分子速率分布函数, $N$ 为分子总数, $m$ 为分子质量, 则 $\int_{v_1}^{v_2} \frac{1}{2} m N v^2 f(v) \, dv$ 的物理意义是()。
A. 速率为 $v_2$ 的各分子的总平动动能与速率为 $v_1$ 的各分子的总平动动能之差
B. 速率为 $v_2$ 的各分子的总平动动能与速率为 $v_1$ 的各分子的总平动动能之和
C. 速率处在速率间隔 $[v_1, v_2]$ 之内的分子的平均平动动能
D. 速率处在速率间隔 $[v_1, v_2]$ 之内的分子平动动能之和
题目解答
答案
根据题目，$ f(v) $ 是气体分子速率分布函数，$ N $ 为分子总数，$ m $ 为分子质量。表达式 $ \int_{v_1}^{v_2} \frac{1}{2} m N v^2 f(v) \, dv $ 的物理意义如下：
1. $ N f(v) \, dv $ 表示速率在 $ [v, v + dv] $ 内的分子数。
2. $ \frac{1}{2} m v^2 $ 是单个分子的平动动能。
3. 积分结果表示速率在 $ [v_1, v_2] $ 范围内所有分子的平动动能之和。
逐项分析：
- A项：表示 $ v_2 $ 和 $ v_1 $ 速率分子动能之差，不符合积分含义。
- B项：表示 $ v_2 $ 和 $ v_1 $ 速率分子动能之和，亦不符合。
- C项：表示平均动能，但积分结果为总动能，非平均值。
- D项：正确，表示 $ [v_1, v_2] $ 范围内分子平动动能之和。
答案：D. 速率处在速率间隔 $ [v_1, v_2] $ 之内的分子平动动能之和。
解析
本题考查气体分子速率分布函数的物理意义以及对积分表达式物理含义的理解。解题思路是先明确速率分布函数中各部分的物理意义，再分析积分表达式所代表的整体物理意义，最后对每个选项进行判断。
- 首先明确速率分布函数 $f(v)$ 的物理意义：
- 速率分布函数 $f(v)=\frac{dN}{Ndv}$，其中 $dN$ 是速率在区间 $[v, v + dv]$ 内的分子数，$N$ 是分子总数。那么 $Nf(v)dv$ 就表示速率在区间 $[v, v + dv]$ 内的分子数。
- 接着看单个分子的平动动能：
- 单个分子的平动动能公式为 $E_k=\frac{1}{2}mv^2$，其中 $m$ 是分子质量，$v$ 是分子速率。
- 然后分析积分表达式 $\int_{v_1}^{v_2}\frac{1}{2}mNv^2f(v)dv$ 的物理意义：
- 对于速率在区间 $[v, v + dv]$ 内的分子，其平动动能之和为 $\frac{1}{2}mv^2(Nf(v)dv)$。
- 对这个表达式在速率区间 $[v_1, v_2]$ 上进行积分，即 $\int_{v_1}^{v_2}\frac{1}{2}mNv^2f(v)dv$，就表示速率处在速率间隔 $[v_1, v_2]$ 之内的分子平动动能之和。
- 最后对各选项进行分析：
- 选项A：速率为 $v_2$ 的各分子的总平动动能与速率为 $v_1$ 的各分子的总平动动能之差，与积分表达式的物理意义不符。
- 选项B：速率为 $v_2$ 的各分子的总平动动能与速率为 $v_1$ 的各分子的总平动动能之和，也不符合积分表达式的物理意义。
- 选项C：速率处在速率间隔 $[v_1, v_2]$ 之内的分子的平均平动动能，而积分结果是总动能，不是平均值，所以该选项错误。
- 选项D：速率处在速率间隔 $[v_1, v_2]$ 之内的分子平动动能之和，与我们分析的积分表达式的物理意义一致，该选项正确。