9/19 填空题（4分）设A=(}-1&1-2&3=

题目分析

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$，要求计算其逆矩阵 $A^{-1}$。

对于二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆矩阵的计算公式为：

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

其中，$ad - bc$ 是矩阵 $A$ 的行列式，记作 $|A|$。

计算步骤

1. 确定矩阵元素

根据题目给出的矩阵 $A$：

• $a = -1$
• $b = 1$
• $c = -2$
• $d = 3$

2. 计算行列式 $|A|$

$|A| = ad - bc = (-1) \times 3 - 1 \times (-2) = -3 + 2 = -1$

因为行列式 $|A| = -1 \neq 0$，所以矩阵 $A$ 可逆。

3. 应用逆矩阵公式

将数值代入公式：

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -(-2) & -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

4. 计算最终结果

将系数 $-1$ 乘入矩阵的每一个元素：

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 \times (-1) & -1 \times (-1) \\ 2 \times (-1) & -1 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

最终答案

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$