题目
一质量 m=0.2 mathrm(~kg) 的物体, 在弹簧的力作用下沿 x 轴作简谐振动, 平衡位置选在原点, 弹簧的劲度系数 k=20 mathrm(~N) / mathrm(m) 。(1) 求振动的周期 T 和角频率 omega ; (2) 如果振幅 A=10 mathrm(~cm), t=0 时物体位于 x=5 mathrm(~cm) 处，且物体沿 x 轴正向运动, 求初速度 v_(0) 及初相 varphi ;（3）写出振动的数值表达式。
一质量$ m=0.2 \mathrm{~kg} $的物体, 在弹簧的力作用下沿$ x $轴作简谐振动, 平衡位置选在原点, 弹簧的劲度系数$ k=20 \mathrm{~N} / \mathrm{m} $。(1) 求振动的周期$ T $和角频率$ \omega $; (2) 如果振幅$ A=10 \mathrm{~cm}$, $t=0 $时物体位于$ x=5 \mathrm{~cm} $处，且物体沿$ x $轴正向运动, 求初速度$ v_{0} $及初相$ \varphi $;（3）写出振动的数值表达式。
题目解答
答案
$\omega =\sqrt{k / m}=10 \mathrm{~s}^{-1} $$1 $分$T =2 \pi / \omega=0.63 \mathrm{~s}$$1 $分(2)$ A=10 \mathrm{~cm} $, 在$ t=0 $时, $ x=5 \mathrm{~cm}$, $v_{0}>0 $由$ A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(v_{0} / \omega\right)^{2}} $得$v_{0}=\omega \sqrt{A^{2}-x_{0}^{2}}=0.87 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$$2 $分$\varphi=\arctan \left(-v_{0} / \omega x_{0}\right)=-\dfrac{1}{3} \pi$$2 $分(3) $ x=0.10 \cos \left(10 t-\dfrac{1}{3} \pi\right)$$2 $分
解析
步骤 1：计算角频率 $\omega$
根据简谐振动的角频率公式 $\omega = \sqrt{k / m}$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$m$ 是物体的质量。将给定的数值代入公式中，得到 $\omega = \sqrt{20 / 0.2} = 10 \mathrm{~s}^{-1}$。
步骤 2：计算周期 $T$
根据周期与角频率的关系 $T = 2\pi / \omega$，将步骤 1 中计算得到的 $\omega$ 值代入，得到 $T = 2\pi / 10 = 0.63 \mathrm{~s}$。
步骤 3：计算初速度 $v_{0}$
根据简谐振动的振幅公式 $A = \sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0} / \omega)^{2}}$，其中 $A$ 是振幅，$x_{0}$ 是初始位置，$v_{0}$ 是初速度。将给定的数值代入公式中，得到 $0.1 = \sqrt{0.05^{2} + (v_{0} / 10)^{2}}$。解这个方程，得到 $v_{0} = 0.87 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。
步骤 4：计算初相 $\varphi$
根据简谐振动的初相公式 $\varphi = \arctan(-v_{0} / \omega x_{0})$，将步骤 3 中计算得到的 $v_{0}$ 值代入，得到 $\varphi = \arctan(-0.87 / (10 \times 0.05)) = -\dfrac{1}{3} \pi$。
步骤 5：写出振动的数值表达式
根据简谐振动的数值表达式 $x = A \cos(\omega t + \varphi)$，将步骤 1 中计算得到的 $\omega$ 值，步骤 3 中计算得到的 $A$ 值，以及步骤 4 中计算得到的 $\varphi$ 值代入，得到 $x = 0.10 \cos(10 t - \dfrac{1}{3} \pi)$。
根据简谐振动的角频率公式 $\omega = \sqrt{k / m}$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$m$ 是物体的质量。将给定的数值代入公式中，得到 $\omega = \sqrt{20 / 0.2} = 10 \mathrm{~s}^{-1}$。
步骤 2：计算周期 $T$
根据周期与角频率的关系 $T = 2\pi / \omega$，将步骤 1 中计算得到的 $\omega$ 值代入，得到 $T = 2\pi / 10 = 0.63 \mathrm{~s}$。
步骤 3：计算初速度 $v_{0}$
根据简谐振动的振幅公式 $A = \sqrt{x_{0}^{2} + (v_{0} / \omega)^{2}}$，其中 $A$ 是振幅，$x_{0}$ 是初始位置，$v_{0}$ 是初速度。将给定的数值代入公式中，得到 $0.1 = \sqrt{0.05^{2} + (v_{0} / 10)^{2}}$。解这个方程，得到 $v_{0} = 0.87 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$。
步骤 4：计算初相 $\varphi$
根据简谐振动的初相公式 $\varphi = \arctan(-v_{0} / \omega x_{0})$，将步骤 3 中计算得到的 $v_{0}$ 值代入，得到 $\varphi = \arctan(-0.87 / (10 \times 0.05)) = -\dfrac{1}{3} \pi$。
步骤 5：写出振动的数值表达式
根据简谐振动的数值表达式 $x = A \cos(\omega t + \varphi)$，将步骤 1 中计算得到的 $\omega$ 值，步骤 3 中计算得到的 $A$ 值，以及步骤 4 中计算得到的 $\varphi$ 值代入，得到 $x = 0.10 \cos(10 t - \dfrac{1}{3} \pi)$。