题目
如图所示，质量为m的物体放在光滑的斜面上，斜面倾角a，弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．开始时弹簧处于原长，物体维持静止，后使物体静止下滑，求： （1）物体沿斜面下滑距离为x时，物体的速度； （2）物体沿斜面下滑的最大距离．
如图所示，质量为m的物体放在光滑的斜面上，斜面倾角a，弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．开始时弹簧处于原长，物体维持静止，后使物体静止下滑，求： （1）物体沿斜面下滑距离为x时，物体的速度； （2）物体沿斜面下滑的最大距离．
题目解答
答案
为： 解：（1）取物体、弹簧和滑轮为系统，在物体下滑过程中机械能守恒 mgxsina=1/2mv²+1/2lΦ+1/2kx² ∴v=RΦ ∴Φ²=(V/R)² V=√2mgxsina-kx²/m+1/R² （2）令下滑的最大距离为x，则由 1/2KX²=mgxsina,，有x=1/R2mgsina
解析
步骤 1：确定系统机械能守恒
物体、弹簧和滑轮组成的系统在物体下滑过程中，只有重力和弹簧力做功，因此机械能守恒。
步骤 2：写出机械能守恒方程
物体下滑距离为x时，物体的重力势能减少，弹簧的弹性势能增加，滑轮的动能增加。设物体的速度为v，滑轮的角速度为Φ，则有：
mgxsinα = 1/2mv² + 1/2IΦ² + 1/2kx²
其中，Φ = v/R，因为滑轮的半径为R。
步骤 3：求解物体的速度
将Φ = v/R代入机械能守恒方程，得到：
mgxsinα = 1/2mv² + 1/2I(v/R)² + 1/2kx²
化简得：
v² = 2mgxsinα - kx²/m + I/R²
因此，物体的速度为：
v = √(2mgxsinα - kx²/m + I/R²)
步骤 4：求解物体沿斜面下滑的最大距离
物体沿斜面下滑的最大距离时，物体的速度为0，即v = 0。此时，物体的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，因此有：
mgxsinα = 1/2kx²
解得：
x = 2mgsinα/k
物体、弹簧和滑轮组成的系统在物体下滑过程中，只有重力和弹簧力做功，因此机械能守恒。
步骤 2：写出机械能守恒方程
物体下滑距离为x时，物体的重力势能减少，弹簧的弹性势能增加，滑轮的动能增加。设物体的速度为v，滑轮的角速度为Φ，则有：
mgxsinα = 1/2mv² + 1/2IΦ² + 1/2kx²
其中，Φ = v/R，因为滑轮的半径为R。
步骤 3：求解物体的速度
将Φ = v/R代入机械能守恒方程，得到：
mgxsinα = 1/2mv² + 1/2I(v/R)² + 1/2kx²
化简得：
v² = 2mgxsinα - kx²/m + I/R²
因此，物体的速度为：
v = √(2mgxsinα - kx²/m + I/R²)
步骤 4：求解物体沿斜面下滑的最大距离
物体沿斜面下滑的最大距离时，物体的速度为0，即v = 0。此时，物体的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，因此有：
mgxsinα = 1/2kx²
解得：
x = 2mgsinα/k