题目
类氢离子(He)^+的某一状态psi = (1)/(4) sqrt(2pi) ((2)/(a_0))^3/2 (2 - (2r)/(a_0)) e^-r/a_0此状态n= [填空1]，l= [填空2]，m= [填空3]，其能量为 [填空4] eV，角动量平方为 [填空5] hbar^2，角动量在Z轴方向的分量为 [填空6] hbar。
类氢离子$\text{He}^+$的某一状态 $\psi = \frac{1}{4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{2}{a_0}\right)^{3/2} \left(2 - \frac{2r}{a_0}\right) e^{-r/a_0}$ 此状态$n=$ [填空1]，$l=$ [填空2]，$m=$ [填空3]，其能量为 [填空4] $eV$，角动量平方为 [填空5] $\hbar^2$，角动量在$Z$轴方向的分量为 [填空6] $\hbar$。
题目解答
答案
根据题目给出的波函数 $ \psi $，可将其分解为径向部分 $ R_{20}(r) $ 和球谐函数 $ Y_{00} $。
- 主量子数 $ n = 2 $。
- 角量子数 $ l = 0 $。
- 磁量子数 $ m = 0 $。
- 能量为：
\[
E_2 = -\frac{13.6 \times 4}{4} = -13.6 \, \text{eV}
\]
- 角动量平方：
\[
L^2 = \hbar^2 l (l + 1) = 0
\]
- 角动量在 $ z $ 轴方向的分量：
\[
L_z = m \hbar = 0
\]
答案：
$ n = 2 $
$ l = 0 $
$ m = 0 $
能量为 $ -13.6 \, \text{eV} $
角动量平方为 $ 0 $
角动量在 $ z $ 轴方向的分量为 $ 0 $。
解析
考查要点：本题主要考查类氢离子波函数的量子数确定及能量、角动量相关物理量的计算。
解题核心思路：
- 分解波函数：将波函数分解为径向部分和球谐函数部分，确定主量子数$n$、角量子数$l$、磁量子数$m$。
- 能量公式：利用类氢离子能量公式$E_n = -\frac{13.6 \cdot Z^2}{n^2} \, \text{eV}$（$Z$为原子序数）计算能量。
- 角动量公式：根据量子数$l$和$m$，直接代入角动量平方$L^2 = l(l+1)\hbar^2$和$L_z = m\hbar$计算。
破题关键点：
- 径向函数形式：通过波函数中的多项式次数和指数项确定$n$和$l$。
- 球谐函数识别：$l=0$时，球谐函数$Y_{00}$为常数，对应$m=0$。
波函数分解与量子数确定
- 径向部分分析：
波函数中的径向部分为$\left(2 - \frac{2r}{a_0}\right)e^{-r/a_0}$，对应$n=2$，$l=0$（因多项式次数为$n-l-1=1$，指数项符合$n=2$）。 - 球谐函数分析：
波函数中无角度依赖项，说明$Y_{00}$为常数，故$l=0$，$m=0$。
能量计算
类氢离子能量公式：
$E_n = -\frac{13.6 \cdot Z^2}{n^2} \, \text{eV}$
代入$Z=2$（He+），$n=2$：
$E_2 = -\frac{13.6 \cdot 2^2}{2^2} = -13.6 \, \text{eV}$
角动量计算
- 角动量平方：
$L^2 = l(l+1)\hbar^2 = 0 \cdot (0+1)\hbar^2 = 0 \, \hbar^2$ - 角动量$Z$分量：
$L_z = m\hbar = 0 \cdot \hbar = 0 \, \hbar$