题目
建立物理模型是解决实际问题的重要方法。（1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。霍曼转移轨道 F-|||-Go OE-|||-Ep 太阳-|||-I 探测器 H SD-|||-九道Ⅱ-|||-R 地球公转轨道-|||-P bigcirc 轨道I r 火星公转轨道-|||-D C-|||-A-|||-。-|||-B-|||-图1 图2 图3①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为v1，在远地点D的速度为v2，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算(v_1)/(v_2)的数值；②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？（2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为m1和m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：E_p=-G(m_1m_2)/(r)，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据：sqrt(1.25^3)≈1.40，sqrt(1.5^3)≈1.84）
建立物理模型是解决实际问题的重要方法。
（1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。
①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为v1，在远地点D的速度为v2，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算$\frac{v_1}{v_2}$的数值；
②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？
（2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。
①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为m1和m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：$E_p=-G\frac{m_1m_2}{r}$，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；
②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据：$\sqrt{1.25^3}≈1.40$，$\sqrt{1.5^3}≈1.84$）
（1）如图1所示，圆和椭圆是分析卫星运动时常用的模型。已知，地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G。
①在P点进行变轨操作，可使卫星由近地轨道进入椭圆轨道Ⅱ。卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速度为v1，在远地点D的速度为v2，远地点D到地心的距离为r。请你选择合适的方法计算$\frac{v_1}{v_2}$的数值；
②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值k都相等。卫星绕地球运行也遵从该规律，请你选择合适的轨道模型，根据牛顿运动定律推导卫星绕地球运行的k值表达式，并说明k值由什么决定？
（2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。
①已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为m1和m2的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：$E_p=-G\frac{m_1m_2}{r}$，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力的束缚；
②如图3所示，请利用开普勒行星运动定律计算，判断当火星运行到哪个位置（A、B、C、D、E、F、G）附近时，在地球公转轨道上H点的探测器开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。（可能需要用到的数据：$\sqrt{1.25^3}≈1.40$，$\sqrt{1.5^3}≈1.84$）
题目解答
答案
解：（1）①卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行时，在近地点和远地点的等效圆周运动的半径分别为r1和r2，设Δt时间内，由开普勒第二定律有
$\frac{1}{2}{v}_{1}$RΔt=$\frac{1}{2}$v2rΔt
解得
$\frac{v_1}{v_2}$=$\frac{r}{R}$
②选择质量为m的卫星以r0的轨道半径绕地球做匀速圆周运动，运动周期为T0，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得
$\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$r0
解得卫星绕地球运行的k值表达式
k=$\frac{{r}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$
可知k值由地球质量决定。
（2）①由题意可知，地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线如图所示
探测器在地球表面的引力势能为Ep=-$\frac{GMm}{R}$
可知静置于地面处的探测器，至少需要获得v0速度，才能摆脱地球引力的束缚。由能量守恒定律可得
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+Ep=0
解得
v0=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
②设地球绕太阳公转轨道半径为r，则火星轨道半径约为1.5r，可知霍曼转移轨道半长轴为
$\frac{1}{2}$（r+1.5r）=1.25r
对地球和探测器，由开普勒第三定律可得
$\frac{{r}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$=$\frac{（1.25r）^{3}}{{T}_{探}^{2}}$
解得
T探=1.40T地
对地球和火星，由开普勒第三定律可得
$\frac{{r}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$=$\frac{（1.5r）^{3}}{{T}_{火}^{2}}$
解得
T火=1.84T地
则有
T探=$\frac{3}{4}$T火
在地球公转轨道上H点的探测器开始发射，到Ⅰ点的时间为探测器的半个周期，即
t=$\frac{1}{2}$T探=$\frac{3}{8}$T火
可知当火星运行到E点附近时开始发射。
答：（1）①$\frac{v_1}{v_2}$的数值为$\frac{r}{R}$；
②k值表达式为$\frac{GM}{4{π}^{2}}$，可知k值由地球质量决定；
（2）①至少需要获得$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$的速度，才能摆脱地球引力的束缚；
②当火星运行到E位置，此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。
$\frac{1}{2}{v}_{1}$RΔt=$\frac{1}{2}$v2rΔt
解得
$\frac{v_1}{v_2}$=$\frac{r}{R}$
②选择质量为m的卫星以r0的轨道半径绕地球做匀速圆周运动，运动周期为T0，由地球的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得
$\frac{GMm}{{r}_{0}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}$r0
解得卫星绕地球运行的k值表达式
k=$\frac{{r}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$=$\frac{GM}{4{π}^{2}}$
可知k值由地球质量决定。
（2）①由题意可知，地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线如图所示
探测器在地球表面的引力势能为Ep=-$\frac{GMm}{R}$
可知静置于地面处的探测器，至少需要获得v0速度，才能摆脱地球引力的束缚。由能量守恒定律可得
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+Ep=0
解得
v0=$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
②设地球绕太阳公转轨道半径为r，则火星轨道半径约为1.5r，可知霍曼转移轨道半长轴为
$\frac{1}{2}$（r+1.5r）=1.25r
对地球和探测器，由开普勒第三定律可得
$\frac{{r}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$=$\frac{（1.25r）^{3}}{{T}_{探}^{2}}$
解得
T探=1.40T地
对地球和火星，由开普勒第三定律可得
$\frac{{r}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$=$\frac{（1.5r）^{3}}{{T}_{火}^{2}}$
解得
T火=1.84T地
则有
T探=$\frac{3}{4}$T火
在地球公转轨道上H点的探测器开始发射，到Ⅰ点的时间为探测器的半个周期，即
t=$\frac{1}{2}$T探=$\frac{3}{8}$T火
可知当火星运行到E点附近时开始发射。
答：（1）①$\frac{v_1}{v_2}$的数值为$\frac{r}{R}$；
②k值表达式为$\frac{GM}{4{π}^{2}}$，可知k值由地球质量决定；
（2）①至少需要获得$\sqrt{\frac{2GM}{R}}$的速度，才能摆脱地球引力的束缚；
②当火星运行到E位置，此后探测器仅在太阳引力作用下，可经霍曼转移轨道在I点到达火星。