求无限长均匀带电直线的电势分布.(已知lambda)

本题考查静电场中电势分布的计算，解题的关键思路是先利用高斯定律求出无限长均匀带电直线的电场分布，再根据电势与电场强度的积分关系计算电势分布。

1. 求无限长均匀带电直线的电场分布：
   • 设无限长均匀带电直线的线电荷密度为$\lambda$，以直线为轴作一个半径为$r$、高为$h$的圆柱形高斯面。
   • 根据高斯定律$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$，其中$q_{enc}$是高斯面内所包围的电荷量，$\epsilon_0$是真空介电常数。
   • 由于电场具有轴对称性，电场强度$\vec{E}$的方向沿径向，且在圆柱侧面上$\vec{E}$与$d\vec{S}$方向相同，在圆柱的上下底面$\vec{E}$与$d\vec{S}$垂直，所以$\oint_{S}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_{侧面}\vec{E}\cdot d\vec{S}+\int_{上底面}\vec{E}\cdot d\vec{S}+\int_{下底面}\vec{E}\cdot d\vec{S}$。
   • 其中$\int_{上底面}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_{下底面}\vec{E}\cdot d\vec{S}=0$，$\int_{侧面}\vec{E}\cdot d\vec{S}=E\cdot 2\pi rh$，而高斯面内所包围的电荷量$q_{enc}=\lambda h$。
   • 代入高斯定律可得$E\cdot 2\pi rh=\frac{\lambda h}{\epsilon_0}$，解得电场强度$E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}$。
2. 计算电势分布：
   • 电势的定义式为$U(r)=-\int_{r_0}^{r}E(r')dr'$，其中$r_0$为参考点的距离，$U(r_0)$为参考点的电势。
   • 将$E(r')=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r'}$代入上式可得：
     $\begin{align*}U(r)&=-\int_{r_0}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r'}dr'\\&=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{r_0}^{r}\frac{1}{r'}dr'\\&=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}[\ln r']_{r_0}^{r}\\&=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}(\ln r - \ln r_0)\\&=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\frac{r}{r_0}+U(r_0)\end{align*}$
   • 通常取$U(r_0) = 0$，则电势分布为$U(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\frac{r_0}{r}$，其中$r_0$为任意参考距离。此式表明电势随$r$呈对数变化，且$U(r)$的符号由$r$与$r_0$的相对大小决定。