题目
截面为矩形的螺绕环共N匝,尺寸如图所示。图下半部两矩形表示螺绕环的截面,在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。(1)求螺绕环的自感系数;(2)求长直导线和螺绕环的互感系数;(3)若在螺绕环内通以稳恒电流,求螺绕环内储存的磁能。
截面为矩形的螺绕环共N匝,尺寸如图所示。图下半部两矩形表示螺绕环的截面,在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。
(1)求螺绕环的自感系数;(2)求长直导线和螺绕环的互感系数;
(3)若在螺绕环内通以稳恒电流,求螺绕环内储存的磁能。
题目解答
答案
解:(1)设螺绕环通有电流I,则螺绕环内
的大小为:
,
穿过螺绕环的磁通链为: 
自感系数为:
(2) 若直导线中通有电流I,则空间场的分布为:
穿过螺绕环的互感磁链为:
互感系数为:
。
(3) 螺绕环中储存的磁能为:
(A) (4/5) c. (B) (3/5) c.
(C) (2/5) c. (D) (1/5) c.
解析
步骤 1：计算螺绕环的自感系数
设螺绕环通有电流I，根据安培环路定理，螺绕环内的磁感应强度大小为：$B=\dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，N是螺绕环的匝数，I是电流，r是螺绕环的半径。
穿过螺绕环的磁通链为：$\varphi =\int B\cdot dS=\int \dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\cdot h\cdot dr=\dfrac {{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$，其中h是螺绕环的厚度，a和b分别是螺绕环的内半径和外半径。
自感系数为：$L=\dfrac {\varphi }{I}=\dfrac {{\mu }_{0}{N}^{2}h}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
步骤 2：计算长直导线和螺绕环的互感系数
若直导线中通有电流I，则空间场的分布为：$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$。
穿过螺绕环的互感磁链为：$\varphi =\int B\cdot dS=\int \dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot Nh\cdot dr=\dfrac {{\mu }_{0}Nh}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
互感系数为：$M=\dfrac {\varphi }{I}=\dfrac {{\mu }_{0}Nh}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
步骤 3：计算螺绕环内储存的磁能
螺绕环中储存的磁能为：${W}_{m}=\dfrac {1}{2}L{I}^{2}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {{\mu }_{0}{N}^{2}h}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}\cdot {I}^{2}=\dfrac {{\mu }_{0}{N}^{2}{h}^{2}}{4\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
设螺绕环通有电流I，根据安培环路定理，螺绕环内的磁感应强度大小为：$B=\dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi r}$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，N是螺绕环的匝数，I是电流，r是螺绕环的半径。
穿过螺绕环的磁通链为：$\varphi =\int B\cdot dS=\int \dfrac {{\mu }_{0}NI}{2\pi r}\cdot h\cdot dr=\dfrac {{\mu }_{0}NIh}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$，其中h是螺绕环的厚度，a和b分别是螺绕环的内半径和外半径。
自感系数为：$L=\dfrac {\varphi }{I}=\dfrac {{\mu }_{0}{N}^{2}h}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
步骤 2：计算长直导线和螺绕环的互感系数
若直导线中通有电流I，则空间场的分布为：$B=\dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}$。
穿过螺绕环的互感磁链为：$\varphi =\int B\cdot dS=\int \dfrac {{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot Nh\cdot dr=\dfrac {{\mu }_{0}Nh}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
互感系数为：$M=\dfrac {\varphi }{I}=\dfrac {{\mu }_{0}Nh}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。
步骤 3：计算螺绕环内储存的磁能
螺绕环中储存的磁能为：${W}_{m}=\dfrac {1}{2}L{I}^{2}=\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {{\mu }_{0}{N}^{2}h}{2\pi }\ln \dfrac {b}{a}\cdot {I}^{2}=\dfrac {{\mu }_{0}{N}^{2}{h}^{2}}{4\pi }\ln \dfrac {b}{a}$。