题目
设直线的方程为曲面 的方程为，求曲面上一 点 ，使得直线平行于在点的法线，并求出在 点 的法线方程
设直线
的方程为
曲面 
的方程为
，求曲面上一 点 
，使得直线平行于在点的法线，并求出在 点 的法线方程
题目解答
答案
直线的方程为曲面 的方程为
故直线的方向向量为
的全微分形式为：
故曲面 的法向量为
由若向量
，且
，则
。
得到：
故点为
故法线方程
即
综上。点为，
法线方程为
解析
步骤 1：确定直线一的方向向量
直线一的方程为$\dfrac {x+1}{4}=\dfrac {y+2}{6}=z-1$，由此可得直线一的方向向量为$\overrightarrow {i}=(4,6,1)$。
步骤 2：确定曲面co的法向量
曲面co的方程为$z=2{x}^{2}+3{y}^{2}+1$，对z求全微分，得到${z}_{z}-4xdx-6ydy=0$，由此可得曲面co的法向量为$\overrightarrow {n}=(-4x,-6y,1)$。
步骤 3：确定直线一平行于曲面co在点的法线的条件
若直线一平行于曲面co在点的法线，则直线一的方向向量与曲面co的法向量成比例，即$\dfrac {4}{-4x}=\dfrac {6}{-6y}=\dfrac {1}{1}$，由此可得$x=-1$，$y=-1$。
步骤 4：确定点的坐标
将$x=-1$，$y=-1$代入曲面co的方程$z=2{x}^{2}+3{y}^{2}+1$，得到$z=6$，因此点的坐标为(-1,-1,6)。
步骤 5：确定曲面co在点的法线方程
曲面co在点的法线方程为$-4(x+1)-6(y+1)+(z-6)=0$，化简得到$4x+6y+z+4=0$。
直线一的方程为$\dfrac {x+1}{4}=\dfrac {y+2}{6}=z-1$，由此可得直线一的方向向量为$\overrightarrow {i}=(4,6,1)$。
步骤 2：确定曲面co的法向量
曲面co的方程为$z=2{x}^{2}+3{y}^{2}+1$，对z求全微分，得到${z}_{z}-4xdx-6ydy=0$，由此可得曲面co的法向量为$\overrightarrow {n}=(-4x,-6y,1)$。
步骤 3：确定直线一平行于曲面co在点的法线的条件
若直线一平行于曲面co在点的法线，则直线一的方向向量与曲面co的法向量成比例，即$\dfrac {4}{-4x}=\dfrac {6}{-6y}=\dfrac {1}{1}$，由此可得$x=-1$，$y=-1$。
步骤 4：确定点的坐标
将$x=-1$，$y=-1$代入曲面co的方程$z=2{x}^{2}+3{y}^{2}+1$，得到$z=6$，因此点的坐标为(-1,-1,6)。
步骤 5：确定曲面co在点的法线方程
曲面co在点的法线方程为$-4(x+1)-6(y+1)+(z-6)=0$，化简得到$4x+6y+z+4=0$。