一弹簧振子，弹簧劲度系数为k=25N/m，当振子以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答：（1）振幅是多大？（2）位移是多大时，势能和动能相等？（3）位移是振幅的一半时，势能多大？

考查要点：本题主要考查弹簧振子的能量守恒、振幅与能量的关系，以及不同位移下势能与动能的转换关系。

解题核心思路：

1. 振幅计算：振幅对应振子的最大位移，此时动能为零，总机械能全部转化为弹性势能。利用总机械能公式 $E = \frac{1}{2}kA^2$ 可求解振幅。
2. 势能与动能相等时的位移：总机械能守恒，当势能等于动能时，各占总能量的一半，通过比例关系或直接解方程求位移。
3. 位移为振幅一半时的势能：直接代入位移表达式，结合弹性势能公式计算。

破题关键点：

• 总机械能守恒：振子的总机械能始终为初动能与初势能之和。
• 能量与位移的关系：弹性势能公式 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$ 是核心，需灵活结合振幅与位移的比例关系。

第（1）题

振幅计算：

1. 总机械能：振子的总机械能为初动能与初势能之和，即
   $E = E_k + E_p = 0.2 \, \text{J} + 0.6 \, \text{J} = 0.8 \, \text{J}.$
2. 振幅公式：振幅对应最大势能，由 $E = \frac{1}{2}kA^2$ 得
   $A = \sqrt{\frac{2E}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.8}{25}} = \sqrt{\frac{1.6}{25}} = 0.25 \, \text{m}.$

第（2）题

势能与动能相等时的位移：

1. 能量分配：当 $E_p = E_k$ 时，各占总能量的一半，即
   $E_p = E_k = \frac{E}{2} = 0.4 \, \text{J}.$
2. 解方程求位移：由 $E_p = \frac{1}{2}kx^2$ 得
   $x = \pm \sqrt{\frac{2E_p}{k}} = \pm \sqrt{\frac{2 \times 0.4}{25}} = \pm \sqrt{\frac{0.8}{25}} = \pm 0.18 \, \text{m}.$

第（3）题

位移为振幅一半时的势能：

1. 代入位移表达式：当 $x = \frac{A}{2}$ 时，
   $E_p = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}kA^2.$
2. 利用总机械能：因 $\frac{1}{2}kA^2 = E = 0.8 \, \text{J}$，故
   $E_p = \frac{1}{4} \times 0.8 = 0.2 \, \text{J}.$