题目
初始温度为 35^circ mathrm(C)、体积为 (50 times 80 times 100) , mathrm(mm)^3 的铸铁块，突然放置于温度为 300^circ mathrm(C) 的流体中加热，已知表面传热系数为 96 , mathrm(W) / (mathrm(m)^2 cdot mathrm(K))，铸铁 lambda = 52 , mathrm(W) / (mathrm(m) cdot mathrm(K))，a = 1.7 times 10^-5 , mathrm(m)^2 / mathrm(s)。试问加热 4 , mathrm(min) 后，铸铁块的中心温度是多少？
初始温度为 $35^{\circ} \mathrm{C}$、体积为 $(50 \times 80 \times 100) \, \mathrm{mm}^{3}$ 的铸铁块，突然放置于温度为 $300^{\circ} \mathrm{C}$ 的流体中加热，已知表面传热系数为 $96 \, \mathrm{W} / (\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{K})$，铸铁 $\lambda = 52 \, \mathrm{W} / (\mathrm{m} \cdot \mathrm{K})$，$a = 1.7 \times 10^{-5} \, \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}$。试问加热 $4 \, \mathrm{min}$ 后，铸铁块的中心温度是多少？
题目解答
答案
根据题目条件，$Bi = \frac{h L_c}{\lambda} = \frac{96 \times 0.01176}{52} \approx 0.0217 < 0.1$，可使用集总热容法。
热时间常数为：
\[
\tau = \frac{\rho c_p V}{h A} = \frac{\lambda L_c}{h a} = \frac{52 \times 0.01176}{96 \times 1.7 \times 10^{-5}} \approx 374.6 \, \text{s}
\]
温度变化为：
\[
\frac{T(t) - T_{\infty}}{T_0 - T_{\infty}} = \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = \exp\left(-\frac{240}{374.6}\right) \approx 0.527
\]
\[
T(t) = 300 + 0.527 \times (35 - 300) \approx 160.3^\circ \text{C}
\]
最终结果：$T(t) \approx 160.3^\circ \text{C}$。