Ao BC-|||-E带电粒子在电场中的运动规律在近代物理实验装置中有着极其广泛的应用，这些应用涉及到带电粒子的测量、加速和约束问题。2023年诺贝尔物理学奖获得者就因其研究控制电子移动而获得。如图的电场模型设计，可以通过改变电场的水平宽度控制带电小球间碰撞，从而模仿微观状态带电粒子的运动。如图所示，带电量为q=+2×10-3C，质量为mB=0.1kg的小球B静置于光滑的水平绝缘板右端，板的右侧空间有水平宽度一定、竖直高度足够高的匀强电场，方向水平向左，电场强度。E=1.0×103N/C。与B球形状相同、质量为mA=0.3kg的绝缘不带电小球A以初速度v0=10m/s向B运动，两球发生弹性碰撞后均逆着电场的方向进入电场，在空中两球又发生多次弹性碰撞。已知每次碰撞时间极短，小球A始终不带电、小球B的电量始终不变，两小球视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s2。（1）求第一次碰撞后瞬间 A、B小球的速度；（2）如果两小球第二次第三次碰撞都发生在电场中，则在第二次与第三次碰撞之间，有一个时刻B小球合力的瞬时功率为0。求此时刻AB两小球动能之比；（3）现要求两小球在空中只能碰撞两次，求电场水平宽度满足的条件。

解：（1）第一次碰撞，向右为正：
$m_{A}v_0=m_{A}v_1+m_{B}v_2，\frac{1}{2}m_{A}v_0^2=\frac{1}{2}m_{A}v_1^2+\frac{1}{2}m_{B}v_2^2$
第一次碰后A的速度
v₁=5m/s，水方向平向右
B的速度
v₂=15m/s，方向水平向右
（2）竖直方向自由下落，AB始终在同一水平面，对B球水平方向
qE=m_Ba
解得
a=20m/s²，水平向左
第二次碰撞前
$v_1t_1=v_2t_1-\frac{1}{2}at_1^2$
解得
t₁=1s
对B球
v₃=v₂-at₁=15-20×1m/s=-5m/sm，方向水平向左
v_y0=gt₁=10×1m/s=10m/s，方向竖直向下
第二次碰撞，向右为正，根据动量守恒定律结合能量守恒定律有
$m_{A}v_1+m_{B}v_3=m_{A}v_1′+m_{B}v_4，\frac{1}{2}m_{A}v_1^2+\frac{1}{2}m_{B}v_3^2=\frac{1}{2}m_{A}v_1^2+\frac{1}{2}m_{B}v_4^2$
第二次碰后A的速度为0；
B的速度
v₄=10m/s，方向水平向右
B小球合力的瞬时功率为0时合力与瞬时速度垂直，设合力与水平方向夹角为α：
$tanα=\frac{m_{B}g}{qE}=\frac{1}{2}$
$tanα=\frac{v_x}{v_y}=\frac{v_4-at_2}{v_{y0}+gt_2}=\frac{10-20t_2}{10+10t_2}$
解得
t₂=0.2s
此时刻B的水平速度
v_x=10-20t₂=10m/s-20×0.2m/s=6m/s
此时刻AB的竖直速度
v_y=10+10t₂=10m/s+10×0.2m/s=12m/s
此时刻两小球动能之比为
$\frac{E_{kA}}{E_{AB}}=\frac{\frac{1}{2}m_4v_y^2}{\frac{1}{2}m_{B}（v_x^2+v_y^2）}=\frac{12}{5}$
（3）第一次碰撞后共速时B球刚刚出场，电场宽度最小为d₁，根据
v₁=v₂-at₀
解得
t₀=0.5s
$d_1=\frac{1}{2}（v_2+v_1）t_0$=$\frac{1}{2}×（5+15）×0.5m$=5m
第一次碰撞后B球向右最远
$x_1=\frac{v_2^2}{2a}$=$\frac{1{5}^{2}}{2×20}m$=5.625m
第二次碰撞前距离电场左边界
x₂=v₁t₁=5m
第二次碰撞后B球向右最远
$x_3=\frac{v_4^2}{2a}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×20}m$=2.5m
此时B球刚刚出场，电场宽度最大为d₂：
d₂=x₂+x₃=5m+2.5m=7.5m
综上可知
0＜d＜5m；B出场时水平速度更大，出场后不会第二次碰撞；
5m＜d＜5.62m；AB出场后空中会第二次碰，不会第三次碰撞；
5.62m＜d＜7.5m；电场中第二次碰，B出场，不会第三碰撞；
7.5m＜d；电场中会第三次碰撞；
现要求小球在空中只能碰撞两次，电场水平宽度满足的条件为
5m＜d＜7.5m
答：（1）第一次碰撞后瞬间 A小球的速度为5m/s，水平向右，B小球的速度为15m/s，水平向右；
（2）如果两小球第二次第三次碰撞都发生在电场中，则在第二次与第三次碰撞之间，有一个时刻B小球合力的瞬时功率为0。此时刻AB两小球动能之比为12：5；
（3）现要求两小球在空中只能碰撞两次，电场水平宽度满足的条件5m＜d＜7.5m。