10、-|||-∫_1x^1nxdx-|||-(请在下方作答)

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是分部积分法的应用。
解题思路：选择适当的分部积分变量，将原积分转化为更易计算的形式。关键在于正确选取$u$和$dv$，使得积分过程简化。
破题关键：设$u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x}dx$；设$dv = x dx$，则$v = \frac{1}{2}x^2$。通过分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，将原积分转化为多项式与对数函数的组合形式。

分部积分法应用

1. 设定变量
   设$u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x}dx$；
   设$dv = x dx$，则$v = \frac{1}{2}x^2$。

2. 应用分部积分公式
   原积分可表示为：
   $\int_{1}^{2} x \ln x \, dx = \left. \frac{1}{2}x^2 \ln x \right|_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx$

3. 简化剩余积分
   剩余积分$\int_{1}^{2} \frac{1}{2}x \, dx$可直接计算：
   $\int_{1}^{2} \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{4}x^2 \Big|_{1}^{2} = \frac{1}{4}(4 - 1) = \frac{3}{4}$

4. 代入上下限并整理
   将各部分代入并化简：
   $\begin{aligned} \int_{1}^{2} x \ln x \, dx &= \frac{1}{2}(4 \ln 2 - 0) - \frac{3}{4} \\ &= 2 \ln 2 - \frac{3}{4} \end{aligned}$