题目
动画片《熊出没》（图1）中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上。聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳子断裂而被解救，其过程可以简化为图2所示。设悬挂点为O，离地面高度为H=8m，两熊可视为（处于它们重心A处的）质点，总质量m=1000kg，悬挂点O到A处的绳长为L=3m（且在运动过程中保持不变）。若两熊的运动始终处在竖直纸面内，它们荡起来使绳子偏离竖直方向的最大夹角θ=30°，不计一切阻力。求：（本题计算中取sqrt(3)=1.7）（1）两熊荡至最低点时的最大速率；（2）若两熊能被解救，绳子能承受的最大拉力不超过多少？（3）若两熊能被解救，在它们运动前方离O点水平距离为s=4m处有一个水池，通过计算说明两熊是否能落人水池中。光头强 -0-|||-熊 二-|||-熊大 H-|||-.1-|||-s 水泣
动画片《熊出没》（图1）中有这样一个情节：某天熊大和熊二中了光头强设计的陷阱，被挂在了树上。聪明的熊大想出了一个办法，让自己和熊二荡起来使绳子断裂而被解救，其过程可以简化为图2所示。设悬挂点为O，离地面高度为H=8m，两熊可视为（处于它们重心A处的）质点，总质量m=1000kg，悬挂点O到A处的绳长为L=3m（且在运动过程中保持不变）。若两熊的运动始终处在竖直纸面内，它们荡起来使绳子偏离竖直方向的
最大夹角θ=30°，不计一切阻力。求：（本题计算中取$\sqrt{3}$=1.7）
（1）两熊荡至最低点时的最大速率；
（2）若两熊能被解救，绳子能承受的最大拉力不超过多少？
（3）若两熊能被解救，在它们运动前方离O点水平距离为s=4m处有一个水池，通过计算说明两熊是否能落人水池中。
最大夹角θ=30°，不计一切阻力。求：（本题计算中取$\sqrt{3}$=1.7）
（1）两熊荡至最低点时的最大速率；
（2）若两熊能被解救，绳子能承受的最大拉力不超过多少？
（3）若两熊能被解救，在它们运动前方离O点水平距离为s=4m处有一个水池，通过计算说明两熊是否能落人水池中。
题目解答
答案
解：（1）对熊由机械能守恒
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=3m/s
（2）由牛顿第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
T=1.3×104N
（3）根据平抛运动规律可知：t=$\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}$=1s
解得水品位移：x=vt=3m
故两熊不能落入水池中，最远落点离O点为3m
答：（1）两熊荡至最低点时的最大速率为3m/s；
（2）若两熊能被解救，绳子能承受的最大拉力不超过1.3×104N
（3）两熊不能落人水池中。
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=3m/s
（2）由牛顿第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
T=1.3×104N
（3）根据平抛运动规律可知：t=$\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}$=1s
解得水品位移：x=vt=3m
故两熊不能落入水池中，最远落点离O点为3m
答：（1）两熊荡至最低点时的最大速率为3m/s；
（2）若两熊能被解救，绳子能承受的最大拉力不超过1.3×104N
（3）两熊不能落人水池中。
解析
步骤 1：机械能守恒定律
在熊荡至最低点的过程中，熊的重力势能转化为动能。根据机械能守恒定律，有：
mgL(1 - cosθ) = $\frac{1}{2}mv^2$
其中，m为熊的总质量，g为重力加速度，L为绳长，θ为绳子偏离竖直方向的最大夹角，v为熊荡至最低点时的最大速率。
步骤 2：计算最大速率
将已知数值代入上式，得到：
1000kg × 9.8m/s² × 3m × (1 - cos30°) = $\frac{1}{2}$ × 1000kg × v²
解得：v = 3m/s
步骤 3：牛顿第二定律
在熊荡至最低点时，绳子对熊的拉力T和熊的重力mg的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
T - mg = m$\frac{v^2}{L}$
步骤 4：计算最大拉力
将已知数值代入上式，得到：
T - 1000kg × 9.8m/s² = 1000kg × $\frac{3^2}{3m}$
解得：T = 1.3 × 10^4N
步骤 5：平抛运动
熊荡至最低点后，绳子断裂，熊做平抛运动。根据平抛运动规律，有：
t = $\sqrt{\frac{2(H-L)}{g}}$
x = vt
步骤 6：计算落点位置
将已知数值代入上式，得到：
t = $\sqrt{\frac{2(8m-3m)}{9.8m/s^2}}$ = 1s
x = 3m/s × 1s = 3m
在熊荡至最低点的过程中，熊的重力势能转化为动能。根据机械能守恒定律，有：
mgL(1 - cosθ) = $\frac{1}{2}mv^2$
其中，m为熊的总质量，g为重力加速度，L为绳长，θ为绳子偏离竖直方向的最大夹角，v为熊荡至最低点时的最大速率。
步骤 2：计算最大速率
将已知数值代入上式，得到：
1000kg × 9.8m/s² × 3m × (1 - cos30°) = $\frac{1}{2}$ × 1000kg × v²
解得：v = 3m/s
步骤 3：牛顿第二定律
在熊荡至最低点时，绳子对熊的拉力T和熊的重力mg的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
T - mg = m$\frac{v^2}{L}$
步骤 4：计算最大拉力
将已知数值代入上式，得到：
T - 1000kg × 9.8m/s² = 1000kg × $\frac{3^2}{3m}$
解得：T = 1.3 × 10^4N
步骤 5：平抛运动
熊荡至最低点后，绳子断裂，熊做平抛运动。根据平抛运动规律，有：
t = $\sqrt{\frac{2(H-L)}{g}}$
x = vt
步骤 6：计算落点位置
将已知数值代入上式，得到：
t = $\sqrt{\frac{2(8m-3m)}{9.8m/s^2}}$ = 1s
x = 3m/s × 1s = 3m