已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积而增加.

本题考查热力学中熵与体积的关系，解题的关键在于利用已知的压强与温度关系，结合麦克斯韦关系推导出熵与体积的关系，进而证明在温度不变时熵随体积增加。

1. 根据已知条件建立压强与温度的关系：
   已知在体积 $V$ 保持不变的情况下，气体的压强 $p$ 正比于其绝对温度 $T$，可表示为 $p = k(V)T$，其中 $k(V)$ 是与体积有关的比例常数。因为当 $V$ 不变时，$T$ 升高 $p$ 也升高，所以 $k(V)>0$。
2. 利用麦克斯韦关系：
   麦克斯韦关系之一为 $(\frac{\partial S}{\partial V})_T = (\frac{\partial p}{\partial T})_V$。
   对 $p = k(V)T$ 求关于 $T$ 的偏导数，此时 $V$ 视为常数，根据求导公式 $(aT)^\prime=a$（$a$ 为常数）可得：
   $(\frac{\partial p}{\partial T})_V=\frac{\partial (k(V)T)}{\partial T}=k(V)$
   所以 $(\frac{\partial S}{\partial V})_T = k(V)$。
3. 求解熵 $S$ 关于体积 $V$ 的表达式：
   由 $(\frac{\partial S}{\partial V})_T = k(V)$，对其进行积分可得 $S$ 关于 $V$ 的表达式。因为 $S$ 不仅与 $V$ 有关，还可能与 $T$ 有关，所以积分结果为 $S=\int k(V)dV + g(T)$，其中 $g(T)$ 是关于温度 $T$ 的函数。
4. 分析温度不变时熵随体积的变化情况：
   当温度 $T$ 保持不变时，$g(T)$ 为常数。对 $S$ 关于 $V$ 求全微分，$dS = k(V)dV+g^\prime(T)dT$，由于 $dT = 0$，所以 $dS = k(V)dV$。
   因为 $k(V)>0$，当体积 $V$ 升高（即 $dV>0$）时，$dS>0$，这表明在温度不变时，气体的熵 $S$ 随体积 $V$ 的升高而升高。