题目
(自测提高20)质量为me的电子被电势差U12 = 100 kV的电场加速,如果考虑相对论效应,试计算其德布罗意波的波长.若不用相对论计算,则相对误差是多少?(电子静止质量me=9.11×10-31 kg,普朗克常量h =6.63×10-34 J·s,基本电荷e =1.60×10-19 C)
(自测提高20)质量为me的电子被电势差U12 = 100 kV的电场加速,如果考虑相对论效应,试计算其德布罗意波的波长.若不用相对论计算,则相对误差是多少?
(电子静止质量me=9.11×10-31 kg,普朗克常量h =6.63×10-34 J·s,基本电荷e =1.60×10-19 C)
题目解答
答案
解:考虑相对论效应:
动能=
=
(1)
(2)
由(1)、(2)式,可求出
和v,代入下式即可求出波长
=
=3.71
若不用相对论计算:
则动能=
=
=
=3.88
相对误差: 
=4.6﹪
解析
步骤 1：考虑相对论效应的动能计算
根据相对论效应，电子的动能可以表示为$E_k = mc^2 - m_0c^2$，其中$m$是电子的相对论质量，$m_0$是电子的静止质量，$c$是光速。由于电子被电势差$U_{12}$加速，其动能等于电势能$E_k = eU_{12}$，其中$e$是电子的电荷量。因此，我们有$mc^2 - m_0c^2 = eU_{12}$。
步骤 2：相对论质量的计算
相对论质量$m$与静止质量$m_0$的关系为$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，其中$v$是电子的速度。将$m$代入步骤1中的动能方程，可以解出$v$。
步骤 3：德布罗意波长的计算
德布罗意波长$\lambda$与动量$p$的关系为$\lambda = \frac{h}{p}$，其中$h$是普朗克常量。动量$p$可以表示为$p = mv$。将$m$和$v$代入动量公式，再代入德布罗意波长公式，可以计算出波长$\lambda$。
步骤 4：非相对论计算的波长
在非相对论情况下，电子的动能可以近似为$E_k = \frac{1}{2}m_0v^2$。将$E_k = eU_{12}$代入，可以解出$v$。然后，使用$p = m_0v$计算动量，再代入德布罗意波长公式计算波长$\lambda'$。
步骤 5：相对误差的计算
相对误差$\epsilon$可以通过$\epsilon = \frac{|\lambda' - \lambda|}{\lambda}$计算，其中$\lambda'$是非相对论计算的波长，$\lambda$是相对论计算的波长。
根据相对论效应，电子的动能可以表示为$E_k = mc^2 - m_0c^2$，其中$m$是电子的相对论质量，$m_0$是电子的静止质量，$c$是光速。由于电子被电势差$U_{12}$加速，其动能等于电势能$E_k = eU_{12}$，其中$e$是电子的电荷量。因此，我们有$mc^2 - m_0c^2 = eU_{12}$。
步骤 2：相对论质量的计算
相对论质量$m$与静止质量$m_0$的关系为$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，其中$v$是电子的速度。将$m$代入步骤1中的动能方程，可以解出$v$。
步骤 3：德布罗意波长的计算
德布罗意波长$\lambda$与动量$p$的关系为$\lambda = \frac{h}{p}$，其中$h$是普朗克常量。动量$p$可以表示为$p = mv$。将$m$和$v$代入动量公式，再代入德布罗意波长公式，可以计算出波长$\lambda$。
步骤 4：非相对论计算的波长
在非相对论情况下，电子的动能可以近似为$E_k = \frac{1}{2}m_0v^2$。将$E_k = eU_{12}$代入，可以解出$v$。然后，使用$p = m_0v$计算动量，再代入德布罗意波长公式计算波长$\lambda'$。
步骤 5：相对误差的计算
相对误差$\epsilon$可以通过$\epsilon = \frac{|\lambda' - \lambda|}{\lambda}$计算，其中$\lambda'$是非相对论计算的波长，$\lambda$是相对论计算的波长。