平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅为2cm，频率为50Hz，波速为200m/s。在t=0时，x=0处的质点正在平衡位置向y轴正方向运动，求x=4m处媒质质点振动的表达式及该点在t=2s时的振动速度。

考查要点：本题主要考查平面简谐波的表达式建立及质点振动速度的计算。
解题思路：

1. 确定波的表达式：根据波的传播方向、振幅、频率、波速，写出波函数的一般形式，并结合初始条件确定初相。
2. 求特定点的振动表达式：将目标点的坐标代入波函数。
3. 求振动速度：对振动位移表达式求导，并代入具体时间计算。
   关键点：

• 初相的确定：通过初始时刻质点的运动方向判断相位。
• 波传播方向与相位关系：波沿x轴正方向传播时，相位为 $\omega t - kx$。

1. 确定波的表达式

已知条件：

• 振幅 $A = 2\ \text{cm} = 0.02\ \text{m}$
• 频率 $v = 50\ \text{Hz}$，角频率 $\omega = 2\pi v = 100\pi\ \text{rad/s}$
• 波速 $u = 200\ \text{m/s}$，波数 $k = \omega / u = \pi/2\ \text{m}^{-1}$

初始条件：
在 $t=0$，$x=0$ 处质点的位移 $y=0$，且速度方向为y轴正方向。

• 位移为0时，相位为 $\cos^{-1}(0) = \pm \pi/2$。
• 速度为正，说明相位应为 $-\pi/2$（此时余弦函数的导数为正）。
  因此，初相 $\phi = -\pi/2$。

波函数：
平面简谐波沿x轴正方向传播，表达式为：
$y = A \cos(\omega t - kx + \phi) = 0.02 \cos(100\pi t - \frac{\pi}{2}x - \frac{\pi}{2})$

2. 求 $x=4\ \text{m}$ 处的振动表达式

将 $x=4$ 代入波函数：
$y = 0.02 \cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{2} \cdot 4 - \frac{\pi}{2}\right) = 0.02 \cos(100\pi t - 2\pi - \frac{\pi}{2})$
由于 $\cos(\theta - 2\pi) = \cos\theta$，可简化为：
$y = 0.02 \cos(100\pi t - \frac{\pi}{2})$

3. 求 $t=2\ \text{s}$ 时的振动速度

速度公式：
$v = \frac{\text{d}y}{\text{d}t} = -A\omega \sin(\omega t - \frac{\pi}{2})$
代入 $A=0.02\ \text{m}$，$\omega=100\pi\ \text{rad/s}$，$t=2\ \text{s}$：
$v = -0.02 \cdot 100\pi \sin(100\pi \cdot 2 - \frac{\pi}{2}) = -2\pi \sin(200\pi - \frac{\pi}{2})$
利用 $\sin(200\pi - \frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$，得：
$v = -2\pi \cdot (-1) = 2\pi \approx 6.28\ \text{m/s}$