题目

15.记 Delta ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin C=sqrt (2)cos B , ^2+(b)^2-(c)^2=sqrt (2)ab-|||-(1)求B;-|||-(2)若 Delta ABC 的面积为 +sqrt (3), 求C.

题目解答

答案

1. 【答案】

$\because {a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt{2}ab$，$\therefore 2ab\cos C=\sqrt{2}ab$，$\therefore \cos C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore \sin C=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，又$\because \sin C=\sqrt{2}\cos B$，$\therefore \cos B=\dfrac {1}{2}$，$\because B\in (0，\pi )$，$\therefore B=\dfrac {\pi }{3}$。

2. 【答案】

由上一问知，$B=\dfrac {\pi }{3}$，$C=\dfrac {\pi }{4}$，$\therefore A=\dfrac {5\pi }{12}$

$\because \dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C}$，$\therefore \dfrac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\therefore b=\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}c$，$\because {S}_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot bc\cdot \sin A=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}cc\cdot \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$

$\therefore {c}^{2}=8$，$\therefore c=2\sqrt {2}$。

解析

步骤 1：利用余弦定理求解 $\cos C$
由 ${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt {2}ab$，根据余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，可以得到 $2ab\cos C = \sqrt{2}ab$，从而 $\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此 $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

步骤 2：利用已知条件求解 $\cos B$
由 $\sin C = \sqrt{2}\cos B$，代入 $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得到 $\cos B = \frac{1}{2}$，因此 $B = \frac{\pi}{3}$。

步骤 3：利用面积公式求解C
已知 $\Delta ABC$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$，根据面积公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$，代入 $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得到 $\frac{1}{2}ab\frac{\sqrt{2}}{2} = 3+\sqrt{3}$，从而 $ab = 2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})$。由 $\sin C = \sqrt{2}\cos B$，得到 $\cos B = \frac{1}{2}$，因此 $B = \frac{\pi}{3}$。由 $A + B + C = \pi$，得到 $C = \frac{\pi}{4}$。