题目
质量为的均质杆，长，在杆的下端固结一质量亦为，半径为的均质圆盘，图示瞬时角速度为，角加速度为，则系统的动能是(###)A. B. C. D.
质量为
的均质杆
，长
，在杆的下端固结一质量亦为，半径为
的均质圆盘，图示瞬时角速度为
，角加速度为
，则系统的动能是(###)
B.
C.
D.
题目解答
答案
D. $\dfrac {65}{48}m{L}^{2}{m}^{2}$
解析
步骤 1：计算杆的动能
杆的动能由其转动惯量和角速度决定。均质杆的转动惯量为 $I_{rod} = \frac{1}{3}ml^2$，因此杆的动能为 $T_{rod} = \frac{1}{2}I_{rod}\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}ml^2 \cdot \omega^2 = \frac{1}{6}ml^2\omega^2$。
步骤 2：计算圆盘的动能
圆盘的动能同样由其转动惯量和角速度决定。均质圆盘的转动惯量为 $I_{disk} = \frac{1}{2}mr^2$，但由于圆盘固结在杆的下端，其转动惯量相对于转轴O点为 $I_{disk} = \frac{1}{2}m(112)^2 + m(112)^2 = \frac{3}{2}m(112)^2$。因此圆盘的动能为 $T_{disk} = \frac{1}{2}I_{disk}\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}m(112)^2 \cdot \omega^2 = \frac{3}{4}m(112)^2\omega^2$。
步骤 3：计算系统的总动能
系统的总动能为杆和圆盘动能之和，即 $T_{total} = T_{rod} + T_{disk} = \frac{1}{6}ml^2\omega^2 + \frac{3}{4}m(112)^2\omega^2$。由于 $l = 112$，则 $T_{total} = \frac{1}{6}m(112)^2\omega^2 + \frac{3}{4}m(112)^2\omega^2 = \frac{1}{6}m(112)^2\omega^2 + \frac{9}{12}m(112)^2\omega^2 = \frac{11}{12}m(112)^2\omega^2 = \frac{65}{48}m(112)^2\omega^2$。
杆的动能由其转动惯量和角速度决定。均质杆的转动惯量为 $I_{rod} = \frac{1}{3}ml^2$，因此杆的动能为 $T_{rod} = \frac{1}{2}I_{rod}\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}ml^2 \cdot \omega^2 = \frac{1}{6}ml^2\omega^2$。
步骤 2：计算圆盘的动能
圆盘的动能同样由其转动惯量和角速度决定。均质圆盘的转动惯量为 $I_{disk} = \frac{1}{2}mr^2$，但由于圆盘固结在杆的下端，其转动惯量相对于转轴O点为 $I_{disk} = \frac{1}{2}m(112)^2 + m(112)^2 = \frac{3}{2}m(112)^2$。因此圆盘的动能为 $T_{disk} = \frac{1}{2}I_{disk}\omega^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}m(112)^2 \cdot \omega^2 = \frac{3}{4}m(112)^2\omega^2$。
步骤 3：计算系统的总动能
系统的总动能为杆和圆盘动能之和，即 $T_{total} = T_{rod} + T_{disk} = \frac{1}{6}ml^2\omega^2 + \frac{3}{4}m(112)^2\omega^2$。由于 $l = 112$，则 $T_{total} = \frac{1}{6}m(112)^2\omega^2 + \frac{3}{4}m(112)^2\omega^2 = \frac{1}{6}m(112)^2\omega^2 + \frac{9}{12}m(112)^2\omega^2 = \frac{11}{12}m(112)^2\omega^2 = \frac{65}{48}m(112)^2\omega^2$。