题目

设一质量m的粒子在一维无限深势阱(0≤ ^2 leqslant a)中运动,t=0时初态波函数为0≤ ^2 leqslant a,(1)写出此无限深方势阱的能量本征值及本征态;(2)求出体系在t=0时的能量可能值及相应的几率;(3)写出在后来某一t时刻体系的波函数0≤ ^2 leqslant a,并求出r时刻体系的平均能量。

设一质量m的粒子在一维无限深势阱( $0\le x\le a$ )中运动,t=0时初态波函数为 $\psi(x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos\frac{\pi x}{a})\sin\frac{\pi x}{a}$ ,

(1)写出此无限深方势阱的能量本征值及本征态;

(2)求出体系在t=0时的能量可能值及相应的几率;

(3)写出在后来某一t时刻体系的波函数 $\varphi(x,t)$ ,并求出r时刻体系的平均能量。

题目解答

答案

（1）一维无限深势阱 $0\le x\le a$ 中，能量本征值为 $E_n=\frac{n^2h^2}{8ma^2}$ ，本征态为 $\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{n\pi x}{a})，n=1,2,3,\cdots$

（2）已知初态波函数 $\psi(x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos\frac{\pi x}{a})\sin\frac{\pi x}{a}$

$\psi(x,0)=\sqrt{\frac{8}{5a}}(1+\cos\frac{\pi x}{a})\sin\frac{\pi x}{a}$

$=\sqrt{\frac{8}{5a}}\left(\sin\frac{\pi x}{a}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{a}+\frac{1}{2}\sin\frac{0\pi x}{a}\right)$

$=\sqrt{\frac{8}{5a}}\left(\sin\frac{\pi x}{a}+\frac{1}{2}\sin\frac{2\pi x}{a}\right)$

$=\sqrt{\frac{2}{5}}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{\pi x}{a}+\sqrt{\frac{2}{5}}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{2\pi x}{a}$

$=\sqrt{\frac{2}{5}}\psi_1(x)+\sqrt{\frac{3}{5}}\psi_2(x)$

能量可能值为 $E_1=\frac{h^2}{8ma^2}$ ，相应几率为 $|\sqrt{\frac{2}{5}}|^2=\frac{2}{5}$

$E_2=\frac{4h^2}{8ma^2}$ ，相应几率为 $|\sqrt{\frac{3}{5}}|^2=\frac{3}{5}$

（3）t时刻体系的波函数 $\varphi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{5}}\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1t}{\hbar}}+\sqrt{\frac{3}{5}}\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2t}{\hbar}}$

平均能量 $\left\langle E\right\rangle\left\langle=\right\rangle\frac{2}{5}E_1+\frac{3}{5}E_2=\frac{2}{5}\times\frac{h^2}{8ma^2}+\frac{3}{5}\times\frac{4h^2}{8ma^2}=\frac{14h^2}{40ma^2}$ .

解析

步骤 1：确定一维无限深势阱的能量本征值和本征态
一维无限深势阱的能量本征值为${E}_{n}=\dfrac {{n}^{2}{h}^{2}}{8m{a}^{2}}$，其中$n=1,2,3,...$。本征态为${v}_{n}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin (\dfrac {n\pi x}{a})$。

步骤 2：将初态波函数分解为能量本征态的线性组合
已知初态波函数$\psi (x,0)=\sqrt {\dfrac {8}{5a}}(1+\cos \dfrac {\pi x}{a})\sin \dfrac {\pi x}{a}$，将其分解为能量本征态的线性组合，得到$\psi (x,0)=\sqrt {\dfrac {2}{5}}{y}_{1}(x)+\sqrt {\dfrac {3}{5}}{y}_{2}(x)$，其中${y}_{1}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {\pi x}{a}$，${y}_{2}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {2\pi x}{a}$。

步骤 3：计算能量可能值及相应的几率
能量可能值为${E}_{1}=\dfrac {{h}^{2}}{8m{a}^{2}}$，相应几率为${|\sqrt {\dfrac {2}{5}|}^{2}}=\dfrac {2}{5}$；${E}_{2}=\dfrac {4{h}^{2}}{8m{a}^{2}}$，相应几率为${|\sqrt {\dfrac {3}{5}}|}^{2}=\dfrac {3}{5}$。

步骤 4：写出t时刻的波函数
t时刻体系的波函数$\varphi (x,t)=\sqrt {\dfrac {2}{5}}{u}_{1}(x){e}^{-i\dfrac {{v}_{1}}{h}}+\sqrt {\dfrac {3}{5}}{v}_{2}(x){e}^{-1}\dfrac {\sqrt {2}t}{h}}$，其中${u}_{1}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {\pi x}{a}$，${v}_{2}(x)=\sqrt {\dfrac {2}{a}}\sin \dfrac {2\pi x}{a}$。

步骤 5：计算平均能量
平均能量(E) $(-\dfrac {2}{5}{E}_{1}+\dfrac {3}{5}{E}_{2}=\dfrac {2}{5}\times \dfrac {{h}^{2}}{8m{{a}_{2}}^{2}}+\dfrac {3}{5}\times \dfrac {4{h}^{2}}{8m{{a}_{2}}^$.