复变函数零点、极点求法？

零点的求法：

1. 定义：若 $ f(z) $ 在 $ z = a $ 处解析且 $ f(a) = 0 $，则 $ z = a $ 为零点。
2. 阶数：将 $ f(z) $ 在 $ z = a $ 处展开为泰勒级数 $ f(z) = (z - a)^k g(z) $，其中 $ g(a) \neq 0 $，则 $ z = a $ 为 $ k $ 阶零点。

极点的求法：

1. 定义：若 $ f(z) $ 在 $ z = a $ 处有孤立奇点，且在邻域内可表示为 $ f(z) = \frac{g(z)}{(z - a)^m} $，其中 $ g(a) \neq 0 $，则 $ z = a $ 为 $ m $ 阶极点。
2. 阶数：将 $ f(z) $ 在 $ z = a $ 处展开为 Laurent 级数，负幂项最高阶为 $ (z - a)^{-m} $，则 $ z = a $ 为 $ m $ 阶极点。

总结：

• 零点：满足 $ f(a) = 0 $，且 $ f^{(k)}(a) \neq 0 $ 的最小正整数 $ k $ 为阶数。
• 极点：满足 $ f(z) = \frac{g(z)}{(z - a)^m} $，其中 $ g(a) \neq 0 $，的 $ m $ 为阶数。

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{零点：} & f(z) = (z - a)^k g(z), g(a) \neq 0, \text{ 则 } z = a \text{ 为 } k \text{ 阶零点。} \\\text{极点：} & f(z) = \frac{g(z)}{(z - a)^m}, g(a) \neq 0, \text{ 则 } z = a \text{ 为 } m \text{ 阶极点。}\end{array}}$