题目
8.(填空题，4.0分)设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ>0是未知参数.若从该总体中抽取容量为8的样本，其观测值为:1，3，3，2，6，5，7，9，则λ的最大似然估计值为_(请用最简分数表示，如1/3)
8.(填空题，4.0分)
设总体X服从指数分布Exp(λ)，其中λ>0是未知参数.若从该总体中抽取容量为8的样本，其观测值为:1，3，3，2，6，5，7，9，则λ的最大似然估计值为_(请用最简分数表示，如1/3)
题目解答
答案
指数分布的似然函数为 $L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum x_i}$，其中 $n$ 为样本容量，$x_i$ 为样本值。取对数似然函数并求导得：
\[
\ell(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum x_i \quad \Rightarrow \quad \frac{d\ell}{d\lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum x_i = 0
\]
解得最大似然估计值：
\[
\lambda = \frac{n}{\sum x_i}
\]
对于本题，$n = 8$，$\sum x_i = 1 + 3 + 3 + 2 + 6 + 5 + 7 + 9 = 36$，代入得：
\[
\lambda = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{2}{9}}$
解析
本题考查指数分布参数的最大似然估计。解题思路是先根据指数分布的概率密度函数写出写出似然函数，再再对似然函数取对数得到对数似然函数，然后对对数似然函数求导并令导数为 0，最后解出参数的最大似然估计值。
- 写出指数分布的概率密度函数：
已知总体$X$服从指数分布$Exp(\lambda)$，其概率密度函数为$f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},x\geq0}$。 - 写出似然函数：
设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是来自总体$X$的样本观测值，似然函数$L(\lambda)$是样本的联合概率密度函数，即$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}f(x_i;\lambda)$。
将$f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}$代入可得：
$L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i}$ - 取对数似然函数：
为了方便计算，对似然函数$L(\lambda)$取自然对数，得到对数似然函数$\ell(\lambda)$：
$\ell(\lambda)=\ln L(\lambda)=\ln(\lambda^n e^{-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i})$
根据对数运算法则$\ln(ab)=\ln a+\ln b$，可得：
$\ell(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i = 1}^{n}x_i$。 - 求对数似然函数的导数并令其为0：
对$\ell(\lambda)$关于$\lambda$求导：
$\frac{d\ell}{d\lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_i$
令$\frac{d\ell}{d\lambda}=0$，即$\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_i}=0$。 - 解出$\lambda$的最大似然估计值：
由$\frac{n}{\lambda}-\sum_{i = 1}^{n}x_i=0$，移项可得$\frac{n}{\lambda}=\sum_{i = 1}^{n}x_i$，进一步解得$\lambda=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_i}$。 - 代入本题数据计算：
已知样本容量$n = 8$，样本观测值为$1,3,3,2,6,5,7,9$，则$\sum_{i = 1}^{8}x_i=1 + 3 + 3 + 2 + 6 + 5 + 7 + 9 = 36$。
将$和\(\sum_{i = 1}^{8}x_i = 36$代入$\lambda=\frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}x_i}$，可得$\lambda=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$。