2.质量为m,长为l的均匀细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动,如将此棒放在水平位置,然后任其落下,求:-|||-(1)当棒转过θ时的角加速度和角速度;(2)下落到竖直位置时的动能。

本题考查刚体绕定点转动的动力学问题，涉及转动惯量、转动定律、角加速度与角速度的关系，以及机械能守恒定律的应用。解题核心思路如下：

1. 转动惯量：棒绕端点的转动惯量为 $J = \dfrac{1}{3}ml^2$；
2. 转动定律：通过重力力矩 $M = J\alpha$ 求角加速度；
3. 角速度求解：利用角加速度与角速度的关系 $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt}$，结合初始条件积分；
4. 机械能守恒：初始重力势能转化为动能，直接计算竖直位置的动能。

第（1）题

角加速度

1. 计算力矩：
   棒的质心到转轴的距离为 $\dfrac{l}{2}\cos\theta$，重力力矩为
   $M = mg \cdot \dfrac{l}{2}\cos\theta.$

2. 应用转动定律：
   转动惯量 $J = \dfrac{1}{3}ml^2$，由 $M = J\alpha$ 得
   $\alpha = \dfrac{M}{J} = \dfrac{3g\cos\theta}{2l}.$

角速度

1. 建立微分方程：
   $\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} = \omega \dfrac{d\omega}{d\theta}$，代入 $\alpha$ 得
   $\omega \dfrac{d\omega}{d\theta} = \dfrac{3g\cos\theta}{2l}.$

2. 分离变量积分：
   $\int_{0}^{\omega} \omega' d\omega' = \int_{0}^{\theta} \dfrac{3g}{2l}\cos\theta' d\theta',$
   积分结果为
   $\omega = \sqrt{\dfrac{3g\sin\theta}{l}}.$

第（2）题

机械能守恒

1. 初始势能：
   棒质心下降高度为 $\dfrac{l}{2}$，初始势能为
   $E_p = mg \cdot \dfrac{l}{2}.$

2. 动能计算：
   下落过程中机械能守恒，动能为
   $E_k = \dfrac{1}{2}mg l.$