题目
波函数ψ(x)=coskx是否自由粒子的能量本征态?答: 。如果是,能量本征值是 。该波函数是否动量本征态?答: ,因为 。
波函数ψ(x)=coskx是否自由粒子的能量本征态?答: 。如果是,能量本征值是 。该波函数是否动量本征态?答: ,因为 。
题目解答
答案
是,
,否,coskx=
,可见,它是两个动量本征态
和
的叠加态
解析
步骤 1：波函数的傅里叶变换
波函数ψ(x)=coskx可以使用欧拉公式表示为ψ(x)=$\dfrac {1}{2}({e}^{ikx}+{e}^{-ikx})$。这表明波函数是两个动量本征态${e}^{ikx}$和${e}^{-ikx}$的叠加态。
步骤 2：能量本征态的条件
自由粒子的能量本征态满足薛定谔方程，即$-\dfrac {\hbar^2}{2m}\dfrac {d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x)$。对于波函数ψ(x)=coskx，其二阶导数为$-\dfrac {d^2\psi(x)}{dx^2}=-k^2\cos kx$，因此能量本征值为$E=\dfrac {\hbar^2k^2}{2m}$。
步骤 3：动量本征态的条件
动量本征态的波函数形式为${e}^{ipx/\hbar}$，其中p是动量。由于ψ(x)=coskx是两个动量本征态${e}^{ikx}$和${e}^{-ikx}$的叠加态，因此它不是单一的动量本征态。
波函数ψ(x)=coskx可以使用欧拉公式表示为ψ(x)=$\dfrac {1}{2}({e}^{ikx}+{e}^{-ikx})$。这表明波函数是两个动量本征态${e}^{ikx}$和${e}^{-ikx}$的叠加态。
步骤 2：能量本征态的条件
自由粒子的能量本征态满足薛定谔方程，即$-\dfrac {\hbar^2}{2m}\dfrac {d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x)$。对于波函数ψ(x)=coskx，其二阶导数为$-\dfrac {d^2\psi(x)}{dx^2}=-k^2\cos kx$，因此能量本征值为$E=\dfrac {\hbar^2k^2}{2m}$。
步骤 3：动量本征态的条件
动量本征态的波函数形式为${e}^{ipx/\hbar}$，其中p是动量。由于ψ(x)=coskx是两个动量本征态${e}^{ikx}$和${e}^{-ikx}$的叠加态，因此它不是单一的动量本征态。