题目

22. (1)分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦(Maxwell)分布，其概率密度为f(x)=}Ax^2e^-x^(2/b),&x>0,0,&其他,其中b=m/(2kT)，k为玻耳兹曼(Boltzmann)常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A.

22. (1)分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦(Maxwell)分布，其概率密度为 $f(x)=\begin{cases}Ax^{2}e^{-x^{2}/b},&x>0,\\0,&其他,\end{cases}$ 其中$b=m/(2kT)$，k为玻耳兹曼(Boltzmann)常数，T为绝对温度，m是分子的质量，试确定常数A.

题目解答

答案

根据概率密度函数的性质，其在整个实数轴上的积分必须等于 $1$。 已知概率密度函数为： $$f(x) = \begin{cases} Ax^2 e^{-x^2/b}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 根据归一化条件 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$，我们可以列出等式： $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{0}^{+\infty} Ax^2 e^{-x^2/b} \, dx = 1$$ 由于 $A$ 是常数，可以将其提取到积分号外： $$A \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x^2/b} \, dx = 1$$ 接下来，我们需要计算积分 $I = \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x^2/b} \, dx$。 为了计算这个积分，我们可以使用变量代换。令 $t = \frac{x^2}{b}$，则 $x^2 = bt$，且 $x = \sqrt{bt} = \sqrt{b} t^{1/2}$。 对 $x$ 求微分得到 $dx = \sqrt{b} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} \, dt = \frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{t}} \, dt$。 当 $x$ 从 $0$ 趋向于 $+\infty$ 时，$t$ 也从 $0$ 趋向于 $+\infty$。 将这些代入积分式中： $$I = \int_{0}^{+\infty} (bt) e^{-t} \left( \frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{t}} \right) \, dt$$ $$I = \int_{0}^{+\infty} \frac{b\sqrt{b}}{2} t^{1 - 1/2} e^{-t} \, dt$$ $$I = \frac{b\sqrt{b}}{2} \int_{0}^{+\infty} t^{1/2} e^{-t} \, dt$$ 我们知道伽马函数（Gamma function）的定义为 $\Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt$。 因此，上述积分可以表示为 $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$： $$I = \frac{b\sqrt{b}}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$$ 利用伽马函数的性质 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ 以及 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$，我们有： $$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$$ 将 $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ 的值代回 $I$ 的表达式中： $$I = \frac{b\sqrt{b}}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{b\sqrt{b\pi}}{4}$$ 现在回到归一化条件 $A \cdot I = 1$： $$A \cdot \frac{b\sqrt{b\pi}}{4} = 1$$ 解得常数 $A$ 为： $$A = \frac{4}{b\sqrt{b\pi}}$$ 所以，常数 $A$ 的值为 $\frac{4}{b\sqrt{\pi b}}$。

解析

本题考查概率密度函数的性质以及利用伽马函数计算积分来确定概率密度函数中的常数。解题思路如下：

  1. 首先，根据概率密度函数的性质，概率密度函数在整个实数轴上的积分值为$1$，即$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。对于给定的麦克斯韦分布概率密度函数$f(x)=\begin{cases}Ax^{2}e^{-x^{2}/b},&x\gt{}0\\0,&其他\end{cases}$，由于$x\leqslant0$时$f(x)=0$，所以$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx=\int_{0}^{+\infty} Ax^{2}e^{-x^{2}/b} \, dx$，由此得到等式$A \int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-x^{2}/b} \, dx = 1$。
  2. 然后，计算积分$I = \int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-x^{2}/b} \, dx$。使用变量代换，令$t = \frac{x^{2}}{b}$，则$x^{2} = bt$，$x = \sqrt{bt} = \sqrt{b} t^{1/2}$，对$x$求微分得$dx = \sqrt{b} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} \, dt = \frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{t}} \, dt$。当$x$从$0$趋向于$+\infty$时，$t$也从$0$趋向于$+\infty$。将这些代入积分式中：
    • $I = \int_{0}^{+\infty} (bt) e^{-t} \left( \frac{\sqrt{b}}{2\sqrt{t}} \right) \, dt$
    • 化简可得$I = \int_{0}^{+\infty} \frac{b\sqrt{b}}{2} t^{1 - 1/2} e^{-t} \, dt=\frac{b\sqrt{b}}{2} \int_{0}^{+\infty} t^{1/2} e^{-t} \, dt$
  3. 接着，利用伽马函数的定义$\Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z - 1} e^{-t} \, dt$，可知$\int_{0}^{+\infty} t^{1/2} e^{-t} \, dt=\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$，所以$I = \frac{b\sqrt{b}}{2} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$。
  4. 再根据伽马函数的性质$\Gamma(z + 1) = z\Gamma(z)$以及$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$，计算$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$：
    • $\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
  5. 将$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$的值代回$I$的表达式中：
    • $I = \frac{b\sqrt{b}}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{b\sqrt{b\pi}}{4}$
  6. 最后，将$I$的值代入归一化条件$A \cdot I = 1$，即$A \cdot \frac{b\sqrt{b\pi}}{4} = 1$，解得$A = \frac{4}{b\sqrt{b\pi}}$。