题目
设总体 X 的密度函数为 f(x)={θcθx−(θ+1) x>c0 x⩽c. 其中 c>0 是已知常数，而 θ>1 是未知参数 .(X1,X2,…,Xn) 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数 θ 的最大似然估计量。
设总体
题目解答
答案
∵似然函数为L(θ)＝
f(xi)＝
θ cθ
＝θn cnθ(x1x2…xn)−(θ+1)
∴lnL(θ)＝nlnθ+nθln c−(θ+1)
lnxi．
∴
lnL(θ)＝
+nln c−
lnxi
令
lnL(θ)＝0，即
+nln c−
lnxi＝0
得到似然函数的唯一驻点θ＝
．
所以参数θ的最大似然估计量为
＝
．
| n |
 |
| i＝1 |
| n |
|
| i＝1 |
| x | −(θ+1) i |
∴lnL(θ)＝nlnθ+nθln c−(θ+1)
| n |
 |
| i＝1 |
∴
| d |
| dθ |
| n |
| θ |
| n |
|
| i＝1 |
令
| d |
| dθ |
| n |
| θ |
| n |
|
| i＝1 |
得到似然函数的唯一驻点θ＝
| n | |||
|
所以参数θ的最大似然估计量为
| ̂ |
| θ |
| n | |||
|
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本数据，对未知参数进行估计的函数。对于给定的样本 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\)，似然函数 \(L(\theta)\) 可以表示为样本数据的联合概率密度函数，即
\[L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} \theta c^{\theta} X_i^{-(\theta+1)}\]
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数 \(lnL(\theta)\)：
\[lnL(\theta) = \sum_{i=1}^{n} ln(\theta c^{\theta} X_i^{-(\theta+1)}) = nln\theta + n\theta ln c - (\theta+1) \sum_{i=1}^{n} lnX_i\]
步骤 3：求对数似然函数的导数
为了找到对数似然函数的最大值，我们需要求其关于 \(\theta\) 的导数，并令其等于零：
\[\frac{d}{d\theta} lnL(\theta) = \frac{n}{\theta} + nln c - \sum_{i=1}^{n} lnX_i\]
步骤 4：求解导数等于零的方程
令导数等于零，解出 \(\theta\)：
\[\frac{n}{\theta} + nln c - \sum_{i=1}^{n} lnX_i = 0\]
\[\theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} lnX_i - nln c}\]
似然函数是基于样本数据，对未知参数进行估计的函数。对于给定的样本 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\)，似然函数 \(L(\theta)\) 可以表示为样本数据的联合概率密度函数，即
\[L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} \theta c^{\theta} X_i^{-(\theta+1)}\]
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数 \(lnL(\theta)\)：
\[lnL(\theta) = \sum_{i=1}^{n} ln(\theta c^{\theta} X_i^{-(\theta+1)}) = nln\theta + n\theta ln c - (\theta+1) \sum_{i=1}^{n} lnX_i\]
步骤 3：求对数似然函数的导数
为了找到对数似然函数的最大值，我们需要求其关于 \(\theta\) 的导数，并令其等于零：
\[\frac{d}{d\theta} lnL(\theta) = \frac{n}{\theta} + nln c - \sum_{i=1}^{n} lnX_i\]
步骤 4：求解导数等于零的方程
令导数等于零，解出 \(\theta\)：
\[\frac{n}{\theta} + nln c - \sum_{i=1}^{n} lnX_i = 0\]
\[\theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} lnX_i - nln c}\]