题目
6-6 升降机装置由半径为R的鼓轮带动,如图所示。轮与绳子之间无滑动,被升降物-|||-体的运动方程为 =a(t)^2 求任意瞬时,鼓轮轮缘上点M的全加速度的大小。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体的运动方程
物体的运动方程为 $x=a{t}^{2}$，其中 $x$ 是物体的位置，$t$ 是时间，$a$ 是常数。
步骤 2：计算物体的速度
物体的速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即 $v=\frac{dx}{dt}$。根据物体的运动方程，我们有 $v=\frac{d}{dt}(a{t}^{2})=2at$。
步骤 3：计算物体的加速度
物体的加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即 $a=\frac{dv}{dt}$。根据物体的速度方程，我们有 $a=\frac{d}{dt}(2at)=2a$。
步骤 4：确定鼓轮轮缘上点M的全加速度
由于轮与绳子之间无滑动，鼓轮轮缘上点M的线速度等于物体的速度，即 $v_M = v = 2at$。鼓轮轮缘上点M的切向加速度等于物体的加速度，即 $a_{M,t} = a = 2a$。鼓轮轮缘上点M的法向加速度为 $a_{M,n} = \frac{v_M^2}{R} = \frac{(2at)^2}{R} = \frac{4a^2t^2}{R}$。因此，鼓轮轮缘上点M的全加速度为 $a_M = \sqrt{a_{M,t}^2 + a_{M,n}^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{4a^2t^2}{R}\right)^2} = 2a\sqrt{1 + \frac{4a^2t^4}{R^2}}$。
物体的运动方程为 $x=a{t}^{2}$，其中 $x$ 是物体的位置，$t$ 是时间，$a$ 是常数。
步骤 2：计算物体的速度
物体的速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即 $v=\frac{dx}{dt}$。根据物体的运动方程，我们有 $v=\frac{d}{dt}(a{t}^{2})=2at$。
步骤 3：计算物体的加速度
物体的加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的一阶导数，即 $a=\frac{dv}{dt}$。根据物体的速度方程，我们有 $a=\frac{d}{dt}(2at)=2a$。
步骤 4：确定鼓轮轮缘上点M的全加速度
由于轮与绳子之间无滑动，鼓轮轮缘上点M的线速度等于物体的速度，即 $v_M = v = 2at$。鼓轮轮缘上点M的切向加速度等于物体的加速度，即 $a_{M,t} = a = 2a$。鼓轮轮缘上点M的法向加速度为 $a_{M,n} = \frac{v_M^2}{R} = \frac{(2at)^2}{R} = \frac{4a^2t^2}{R}$。因此，鼓轮轮缘上点M的全加速度为 $a_M = \sqrt{a_{M,t}^2 + a_{M,n}^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{4a^2t^2}{R}\right)^2} = 2a\sqrt{1 + \frac{4a^2t^4}{R^2}}$。